線形と非線形
「線形・非線形」とは何でしょうか。
非線形というのは、簡単に言えば、ある従属変数がその独立変数の１乗で表されない式形のことを示します。（例外もあります。）
要するに、独立変数に２乗とか３乗とか、√とかついたらこれはもう立派な非線形です。一番分かりやすい例は、比例の式（y=ax）がありますね、中学校で習ったやつです。これは従属変数ｙに対して独立変数ｘの１乗の式だから線形です。ところが、これが放物線の式（y=ax2）とか、三角関数の式（y=Sin(x)）とかになったら非線形です。だから、この世の中には非線形の方が線形よりも遥かに多いわけです。
ロトカ・ヴォルテラモデル（非線形現象のモデル）
ｆ（ｘ1 ＋ｘ2 ）＝ｆ（ｘ1 ）＋ｆ（ｘ2）・・・・・ａ）
ｆ（ｃｘ）＝ｃｆ（ｘ）・・・・・・・・・・・・・・ｂ）
を満足するとき、関数ｆは線形であるといいます。ａ）の重ね合わせ（加法性）、ｂ）の比例関係（斉次性）が満足されるならば、ｃ1，ｃ2 を任意の定数とする１次結合ｃ1 ｘ1＋ｃ2 ｘ2 に対し、
ｆ（ｃ1 ｘ1 ＋ｃ2 ｘ2）＝ｃ1 ｆ（ｘ1 ）＋ｃ2 ｆ（ｘ2）
は自明の理です。
自然界の法則の大部分は微分方程式の形で表現されますが、線形と非線形の違いを簡単にいえば、非線形方程式は未知数の二乗の項を含むこと、線形方程式は一乗の項しか含まないことです。たとえば、ｄｙ／ｄｘ＝ｙのように１次の項しかない微分方程式は解の重ね合わせが成り立つ、すなわち、解の和もその解となるので線形、ｄｙ／ｄｘ＝ｙ−ｙ2のように２次以上の高次項（ｙ2 など）や交差項（ｘｙなど）を含む微分方程式は解の重ね合わせの原理が成り立たないので非線形です。
ｘをある生態系におけるウサギの個体数、これをエサとするキツネの個体数をｙとします。それらの変化は被食者と捕食者の生存闘争モデルとして有名なロトカ・ヴォルテラ（Lotka-Volterra）の微分方程式
ｄｘ／ｄｔ＝ａｘ−ｃｘｙ
ｄｙ／ｄｔ＝−ｂｙ＋ｃｘｙ （ａ，ｂ，ｃ＞０）
で表されます。この式は、キツネがいなければウサギは微分方程式ｄｘ／ｄｔ＝ａｘにしたがって無制限に増え、ウサギがいなければキツネは微分方程式ｄｙ／ｄｔ＝−ｂｙにしたがって死滅していくと仮定し、生物種の相互作用の項をｃｘｙとしてモデル化したものです。すなわち、個体群間の相互作用を表す交差項ｘｙを含む非線形モデルです。
餌食となるウサギが不足すればキツネの数は減少するが、一方、ウサギの個体数はキツネの減少のせいで増加が可能になる→ウサギの個体数がかなり増加するとキツネの個体数も増加が可能となる→キツネが大量に増えてウサギの個体数は減少するという時間経過をとることが予想されます。
非線形項を含む３元の微分方程式の解は「カオス」と呼ばれる非常に複雑な挙動を示すことは次項で述べますが、ロトカ・ヴォルテラモデルは交差項ｘｙを含む２元の微分方程式であって、被食者と捕食者の変化は周期的、つまりある時間がたつと初めの状態に戻る非線形現象になります。
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