カオティックな軌道
１９７６年、アメリカの物理学者ファイゲンバウムは、奇妙ではあるが魅力的な考えを、反復関数
ｘ，ｆ（ｘ），ｆ（ｆ（ｘ）），ｆ（ｆ（ｆ（ｘ））），・・・
に基づいて発展させ、ｆ（ｘ）が２次式になると、漸化式
ｘn+1＝ｆ（ｘn ）
の挙動は極めて複雑になることを指摘しました。たとえば、
ｆ（ｘ）＝ｋｘ（１−ｘ） （０＜ｋ≦４）
の形の漸化式はｋの値によって漸近挙動が全く異なったものになり、カオスと呼ばれる現象を引き起こします。
ｘn+1 ＝ｆ（ｘn ）＝ｋｘn（１−ｘn ）
ｘn が０と１の間の値をもつものと考えると、この式は人口増加のロジスティックモデルとなります。すなわち、ｘは人口増加、（１−ｘ）はそれに歯止めをかける傾向を反映する因子です。ここで、
 ａ）０≦ｋ≦１なら、ｘn の値は初期値ｘ0にかかわらず０に近づく。 |  ｂ）１＜ｋ≦３なら、ｘn の値は初期値ｘ0にかかわらず固定点（ｋ−１）／ｋに近づく。 |
 i)３＜ｋ＜３．４４（＝１＋√６）ならば２つの極限値の間を振動する（周期２のサイクル）。 |  ii)３．４４＜ｋ＜３．５４ならば４つの極限値の間を振動する（周期４のサイクル）。 |
 iii)３．５４＜ｋ＜３．５６４ならば８つの極限値の間を振動する（周期８のサイクル）。 |
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ｋ＞３．５６９９５（ファイゲンバウム点）のときには挙動はひどく複雑になり、周期的なのか、周期的とすればその周期はいくつかなどはわからないほどでたらめに荒々しく揺れ動くようになります。
このような状態がカオスですが、カオスでは最終の人口増加が全く予測できないだけでなく、初期値の選び方に非常に大きく依存します。
ところが、ｋの値の所々で単純な周期変動が現れ、たとえば、ｋ＝１＋２√２のとき周期が３、すなわち３つの極限値の間を振動します。
以上を駆け足で見てきました。これらの現象は、1974年に学者ロバート・メイがコンピュータを使って数値実験をして得ていました。彼は、2nの周期で変化していった時に、やがて、ある一点を越えると、周期を持たないような状態（ランダムな状態）そして、あらゆる周期を持つ状態（3周期など）が現れてくることを実験で得ました。これを受けて、彼はこうした状態をカオティックな軌道と呼びました。
xの初期値がいかなる値でも、ｒがある一点（3.57）を越えると、こうしたカオティックな軌道が現れるのです。この不思議な状態に対して、1975年に学者リーとヨークは、ｒが3.57を越えた時には、どんな時でも（xnがいつの時点でも）周期点が別に存在することを数学として証明しました。つまり、先ほどのロバート・メイのカオティックな軌道を正確に説明することができたのです。彼らはこの証明を論文にまとめ、「Period3 implies Chaos」（3周期はカオスを意味する）と名付けました。カオスという言葉が数学として使われだしたのは、このリーとヨークの論文を受けてからのことです。
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