ポアソン分布

放射性核種が壊変するとき、単位時間当たりの壊変数は原子の量に比例する。すでに述べたように時刻 t における核種の量は次式で与えられる。

N_t = N₀ exp(-λt) (1)

核種の平均寿命を T_1/e あるいは簡単に T とすると次のように表される。

T = 1/λ
N_T = (1/e)N₀ (2)

実際の核種数は上式のとおりに変化していくのではなく、確率的な散らばりを伴いながら壊変する。核種の寿命はポアソン分布に従うと考えられる。ポアソン分布を用いて上式の壊変法則を再現してみよう。時刻 t において壊変する確率は、次の確率密度関数で表される。 λ は壊変定数に相当する。

f(t) = λ exp(-λt)
P(t₁<t<t₂) = ∫_[t1,t2] f(t) dt (3)

確率分布では平均値と分散は次式のようになる。 (2)式の平均寿命 (1/λ) と、ここでの平均値が一致する。

∫_[0,∞) tf(t) dt = 1/λ
∫_[0,∞) (t-1/λ)²f(t) dt = 1/λ² (4)

核種が N₀ 個あるとき、確率過程 X_t⁽ⁱ⁾ を次のように定義する。つまり i 番目の核種が壊変する時刻 (寿命) が t 以上であるとき X_t⁽ⁱ⁾=1 、寿命が t 未満であるとき X_t⁽ⁱ⁾=0 と定める。時刻 t で生き残っていれば 1 、消滅していたら 0 ときめるのである。 X_t⁽ⁱ⁾ の平均値と分散を求めておく。

E[X_t⁽ⁱ⁾] = ∫_[t,∞) 1 f(t) dt = exp(-λt)
V[X_t⁽ⁱ⁾] = E[(X_t⁽ⁱ⁾)²]-(E[X_t⁽ⁱ⁾])² = exp(-λt)-exp(-2λt) (5)

このようにして定めた X_t⁽ⁱ⁾ を N₀ 個の核種すべてについて加えあわせたものを N_t とする。 X_t⁽ⁱ⁾ は互いに独立で同一分布に従うので、その和 N_t の平均と分散は N₀ 倍となる。また N₀ は十分に大きい数と考えられるため N_t は正規分布に従うとしてよい。

N_t = Σ_i X_t⁽ⁱ⁾
E[N_t] = N₀ exp(-λt)
V[N_t] = N₀(exp(-λt)-exp(-2λt)) (6)

(1)式と(6)式2行目を比べれば、壊変法則が再現されたことがわかる。確率を考慮した場合でも、平均値としては(1)式と同じ結果を得た。 (6)式3行目により、平均値からの隔たりを評価することができる。半減期 t=T_1/2=ln(2)/λ における平均・分散と標準偏差は次のようになる。分散・標準偏差は半減期の時点で最大となる。

E[N_t] = (1/2) N₀
V[N_t] = (1/4) N₀
σ[N_t] = (1/2) N₀^1/2 (7)

引用・参考文献
放射線入門

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