10月3日(水)
一回目の指導案を書き始める。目標は来週の月曜日に平岡先生提出である。実践授業の単元は角錐の体積と円錐の体積である。どういう方針で行くか。小学生に｢角すいの体積は、角すいと底面積も高さも等しい角柱の体積の1/3になる｣ことを、数学的にきちんと証明する(極限の考え方)のは難しいと思われる。前期に大学の先生方に｢錐の体積の公式で、1/3を掛けることを極限の考え方を使わずに、証明する方法はないか？｣と聞いたが、出てこなかった。となれば、あまり回りくどい説明をするよりも、1/3になることを実感してもらえるような授業がよいのではないか。児童が錐の体積を計算するときに、｢あのときの先生が、1/3になるといっていたなあ｣と印象に残る授業がしたい。きちんとした証明は、高校になってから学習してもらうことにして、当面は1/3になることを体感してもらえればいいと思う。
具体的にどういう授業にするかが問題であるが、底面積と高さが等しい錐と柱の容器を用意し、水を使って1/3になることを確かめる方法もあるが、ちょっとストレートすぎる。単に確かめさせるだけなら、10分で終わるだろうし、生徒に考えさせることがない。容器を用意するのも問題である。電卓が一人一人に有ったので、極限の考え方を使って計算させてみる。計算はできても意味がわからないかも。今実際に計算をやってみたが、計算自体は電卓があればできそうである。底面が10×10で高さが10の錐を考えたが、大きいほうが385、小さいほうが285となり、実際の体積は333.33…である。誤差が大きすぎる。大きい方と小さいほうの平均を取れば、335となってよい近似になるが、児童が理解するのは難しい。
10月4日(木)
附属小学校に行って山脇先生の算数の授業を見てくる。いつ見ても思うのだが、生徒に発表させる場面が多い。発表させる内容も｢なぜ｣｢どうして｣を聞くことが多い。生徒に考える場面を与えている。今日は計算練習の場面があった。あとで聞いたのだが、なるべくこういった場面を多くとるようにしているとのこと。この場面を｢活用｣といっているそうである。｢活用｣にはふたつの側面があり、習熟を図るものと生活につなげるものである。今回は習熟を計るほうである。生活につなげるものとして、拡大縮図で修学旅行で歩いた距離がどれくらいかを求めていた。
実践授業について、山脇先生が以前、錐の体積を求めるのに、底面と高さが等しい錐と柱の容器を用意して、錐の水を柱に移していくと3回で柱が満杯になる。だから÷3をするんだ。という授業をしたことがあるそうである。しかし正確に容器を作ることができなかったそうである。｢およそ｣の世界になってしまう。
実践について平岡先生と少しお話をした。言われたことをまとめておく。｢自分が納得していない言葉では他人に説明はできない｣｢中迫君は自分では分かっているのかもしれないが、人に説明するのが出来ない｣｢色々やってみて本当は自分はわかってないことに気付きなさい、そうしたら自分の頭で考え始めるから｣そんなところだろうか。
今日は底面を高さがそれぞれ等しい柱と錐の模型を作った。1つ目の錐は実は失敗した。底面が等しくて、高さが1/3の柱も作ってみた。錐と高さが1/3の柱の体積が等しくなることは2つの模型を見比べても理解できない。どうしようか。
10月6日(土)
実践のことは考えきれなかった。思いつていた授業の流れだけを書く。
導入 ：生徒に角すいの体積を求めさせたいと思わせる。
展開 ：角すいの体積が底面と高さが等しい柱の1/3になることを実感させる。
(どうやって？)
発展 ：
まとめ：確認問題？
かな？あんまり面白くない授業展開だけどしょうがないかな。でも、附小は問題演習とかしてないしな。確認問題、意味ないかも。
院生室にある小6の算数の教科書をすべてみると、1/3になる説明はすべて底面と高さが等しい角すいと柱の容器を使い砂か水を使って｢そうなるんですよ｣という説明をしている。3色の砂を使っている(カラー写真付)のは面白かった。やっぱり作るしかないのだろうか。明日OKに行ってみよう。
10月7日(日)
指導案について考えるが、思いつかない。錐の体積のことばかり考えて、錐の定義や表面積との関係(生徒は表面積と体積の違いをきちんと理解しているかなど)を考えるのを忘れていた。錐の体積について教科書を読んでみたが、言葉として書かれているものはなかった。｢図のような立体を角すいといいます｣でほとんど終わっている。後は錐の特徴を調べているのみ。表面積については、｢1つの底面の面積を底面積といい、側面全体の面積を側面積といいます。また、表面全体の面積を表面積といいます｣で終わっている。きっと、模型などを示しながら、教えていくことだろう。小学生なら言葉の定義よりも実感させることが大切なのかもしれない。教える側はちゃんと把握しておく必要はある。体積の授業でも立体の性質の知識を理解しておこう。
今日は｢6個の四角すいで立方体を作っ｣てみた。ある教科書には、これで｢角すいの体積が底面積×高さ×1/3で求められるわけを考えましょう｣とあった。どうしてだろう。なんとなくは分かるが、納得いく説明が思いつかない。説明が出来れば、これを角すいのメインにもってきてもよい。OKで材料を買ってくるがまだ手をつけていない。
授業の流れ。以前、直方体の体積の求め方を習ったことを思い出させ、5cm×5cm×6cmの直方体をみせ、体積を求めさせる(口頭でもOK？)。5cm×5cm×6cmの角すいの模型をもってきて、この模型が何と言ったか復習する。(何とかして、体積を求めようにもっていく。今は思いつかない。生徒に自由に発表させるか。)角すいの体積は直方体の体積の何倍になるかを予想させる(逆がいいかも。直方体の体積は角すいの体積の何分の何になっているか。しかし、これだと言い方が面倒。)。このとき、予想として、2倍、3倍、4倍(候補は後で考えることにして)を教師のほうが与える。生徒に自由に発言させると厳密さが問題になってくる恐れがある。水を使うにせよ砂を使うにせよ、正確に3倍にならない恐れがあるので、最初に固定した予想を与えておいて、それから実験(実際の確認作業)をしてみる。出来れば予想する段階で色々と議論が生まれればいい。確認する前に生徒にいろいろと考えさせて揺さぶりをかけておく。具体的にどうするかはまだ考え中。何を考えさせるべきを決めておくこと。3倍になることを確認した上で、角すいの体積の求め方をまとめる。実際に確認するまでにどうやって授業を持っていくかが問題。確認するときに生徒のほうから驚きが出るような授業展開が望ましい。
10月8日(月)
実際に指導案を書き始める。流れは決まっている。後は授業の流れが問題である。細かいところが決まらない。発問を考えるが、授業がスムーズに行くような発問を考えきれない。水(砂？)を使って確かめてみようするまでうまく持って行けるといいのだが。計算室から、新･中学校数学学習指導講座5図形と新･算数指導講座7量と測定･図形を借りてくる。一昔前の本だが役に立ちそうである。理論と実践、両方書いてあるのでよい。三角錐の体積の授業例が載っていた。水を使ったものではなく、三角柱を体積の等しい3つの三角錐(合同ではない)に分ける方法が使われていた。
10月9日(火)
附小に言って山脇先生の授業を見る。教科書とA4の紙の縦と横の長さ(←説明がきちんとしている)の比が等しいという説明に生徒は驚いていた。
生徒は錐体の体積がそれと底面と高さが等しい柱体の体積の1/3になるということを知らない。そこに驚きを感じさせる授業にしたい。公式を教えるだけなら簡単である。練習問題を解かせればいいのだから。実際に確認できるのは学校の授業だけである。
1日分の指導案を書く。明日平岡先生に見せる予定。平岡先生から、2回分をまとめて授業を作るのか、1回ずつばらばらに授業を作るのかを聞かれた。どちらが正解というわけではない、自分の好きなようにとのこと。見せ場はここというのは決めてあるが、指導案を書いてみるとそれが見えてこない。もっと生徒が悩む場面を考えてやらないと、模型や容器をがんばって作る意味がない。1日目の授業は｢一般に角すいの体積は、角すいと底面積も高さも等しい角柱の体積の1/3になることをまとめる｣で終わろうと思う。公式としてまとめるのは円錐の体積をやったあとでもいいだろう。生徒が考える時間があまりない。教師が教えすぎているかな？5cm×5cm×6cmではなくて模型(生徒に見えるよう大きく作るつもりである)と同じ大きさを指定したほうがよいのか。考えている角柱や角すいは特別なものであって、一般のものではないことを暗に示しておく。生徒の誤解を招きたくないので。ただ、桁が大きくなるので計算がちょっと面倒かな。
10月10日(水)
指導案を平岡先生に見せに行きました。大体予想通りのことを言われました｡｢これで授業になるけど、面白くない。生徒をレールに乗せすぎている。レールからはずすことを考えないと｣｢発想をずらしたり、別のものに置きかえたりしてはどうか｣｢生徒がなるほどと思う場面がない｣｢錐の体積が1/3になることが応用されている例を探す｣｢5cm×5cm×6cmは角柱とよぶのか、イメージとしてわかない｣｢模型のスケールをどうするのか、5cm×5cm×6cmのままだと小さくないか｣錐が具体的に応用されている場面から探していこうと思う。
10月11日(木)
2限、附小に算数の授業を観にいくが、家庭科になっていた。
今日は、円錐の模型を作ろうと思う。角すいのことばかり考えると気がめいるし、2日目のことも考えておかないと恐ろしいので。工作用紙が厚くて円錐はうまく作れなかった。とがった部分がうまく丸まらない。作るなら材料を検討すべき。円錐の容器をたぶん作ることは無理かな。円錐の指導案をどうしようか。円錐の教具を作るのはけっこう難しい。角すいと円錐のつながりも考えた指導案にするべきか。分からん。
10月12日(金)
5限、附小に算数の授業を観にいく。実習生の授業である。15分押しの10分早く終わったので20分しか見れなかった。2つの表を見せて似ているところと違ってるところを発表させる。けっこう時間をとった割に3つしかでてない。それでいいのか。見つけるだけだと一人だけの学習になってしまう。少し考えさせて、全体で発表させ、また考えさせるようにするといいかも。生徒に驚きがない授業になっていた。一見分からないことを生徒に提示した場合はちゃんと解決してやろう。
授業について。どうしたら生徒が驚くだろうか。｢錐体の体積を求める公式は三角形の面積を求める公式とよく似ている。面積の場合は、適当な切り貼りで三角形を長方形に変形することができる。これと同じようにして錐体も適当に切り貼りして、直方体に変形できないだろうか｣。長方形をうまく2つに分割すると、面積の等しい三角形が2つできる。同様にして、角柱をうまく3つに分解して、体積の等しい3つの錐体を作ることは出来ないか。←考えていることと違う。ちょっと煮詰めていかんと。アイディアは面白いが、これでどんなことが身につくのだろうか。確かに生徒をレールから外すことはできるかもしれないが、それだけのために、授業の本質を見失わないようにしなければ。何がしたいのかが分からない授業はやめよう。三角柱を体積の等しい3つの三角錐(合同ではない)に分解する模型を作ってみる。3つの三角錐の体積が等しいことを小学生に説明するのは難しい。高校生なら分かってくれそうな気がするが。
10月15日(月)
附小で国語と算数の授業を見てくる。国語は実習生､算数は山脇先生の授業である。国語､あんまり面白くなかった。先生が当たり前のことを当たり前に説明している。生徒に驚き､発見がなかった。山脇先生､比例の授業､｢XとYを決めると式ではどのように表わすことが出来ますか｣という発問で生徒が｢えっ｣と思い手がすぐに挙がらなかった。そんな授業ができるとよいです。
指導案について。角柱の体積と角すいの体積を求めた数を提示する。気付いたことを生徒に発表させる。角すいの体積をまとめる。三角形の面積の公式を訊ねる。似ているところは発表させる。面積と同じ考えが､体積でもいえないだろうか。すなわち､三角形2つ分が長方形の面積である。これを具体的に示すことはできる。角すい3つ分の体積が角柱の体積であることを示すことが出来ないだろうか。先生が1つの考え方を持ってきました。角すいと角柱の容器と水を使って説明する。まとめをしておしまい。
何とか明日指導案を持っていけそう。最初の導入がちょっと不安。三角形の面積と比較するのは面白いかも。藤山君に見せたが､その点(最初に公式の説明をするところ)は指摘された。1つ目の指導案と絡めてもう1度作り直そう。
わかなさんの実践のレポートを読む。現時点では僕よりややペースが遅く､ちょっと安心した(わかなさん､ごめんなさい)。
10月16日(火)
指導案を見せに行く。｢何がしたいのか｣を聞かれた。角錐の体積が角柱の体積の1/3のになることを印象させたいなら、具体的数値はいらないんじゃない。三角形の面積と角錐の体積の関係が問題かも。我々は公式を知っているから、そういうことを思いつく。生徒の感覚をずらしたいという気持ちは分かるが、もっとずらす方法はあるよ。1/3になる方策を授業に使えるかどうかは別にして、3～5個探そう。この授業のポイントは、1/3になることを活動、作業、操作によって理解させるのが一番の目標である。作った教材を生かせるような授業を。まだ、本筋が決まっていないので、早く本筋を決めよう。
10月17日(水)
附属小に行く。実習生の授業。子どもが塾で知っているから成り立つ授業。グラフを書くときの約束事は、それをしないでグラフを書かせてみて、不具合が生じるから書くんだよとしたほうがよいのでは。知っている子は再発見をし、知らない子は発見をしてもらえるような授業をしたい。
指導案について。角錐と角柱の容器を附属小から借りてきた。実際にやってみると、水をこぼれないように移し変えるのが大変である。ぎりぎりまで水を入れるとこぼれてしまう。これで納得するかなという疑問が出てきた。容器を使わないで1/3になることを実感させる方策を考えた。①(密度が等しいとき)重さを比べる、②粘土で模型を作り、形を変えてみせる、③大きな容器に模型を入れて、どれだけ水面が上がるかを調べる。重さを比べるなら、ゼリーを使うと面白かなと思った。角錐型1個のゼリーを一人で食べるのと、角柱型のゼリー1個を二人で食べるのはどっちが多く食べることができるか。という導入は面白いかも。
10月18日(木)
ゼリーの問題は重さを量るときにどれだけ正確な値が出るかが問題。どのようなはかりを使うかかな。料理のときに使うはかりがベターかな。
10月19日(金)
角柱の体積の1/3になるような斜角錐の体積を求めさせ、底面と高さをそのままにして、頂点の位置だけずらしても、体積は変わらないので、正角錐の体積は底面を高さがそれぞれ等しい角柱の体積と等しいことが言える。
10月20日(土)
生徒が知っていること
角柱の体積の公式
角錐、円錐と呼ばれる立体の存在
何を授業で教えたいのか
角錐の体積が角柱の体積の1/3になっていること。
→水を使って、説明する
等積変形をしていく
角錐の体積の公式まで教える必要はない。
生徒の中には角錐の体積の公式を知っているものもいる。
10月25日(木)
とりあえず、角錐の体積の指導案を流れが決まった。まだ、やりたいことがはっきりしていないので、はっきりさせようと言われる。1/3に持っていきたいなら、4/3が出てくるのは生徒を混乱させる。授業をどうやって作っていくかの方法の問題である。人からのコピーなので、自分の修正がないと、授業がぼやけてしまう。
10月26日(金)
円錐の体積の指導案を考え始める。角錐の体積がキチンを分っていればやれると思っていたが、難しい。基本路線は、角錐の体積の公式から円錐の体積の公式を類推させて、…どうしよう。生徒は円柱の体積の公式は知っている。もちろん、円の面積の公式も知っている。角錐の体積の公式も知っている。円錐の体積の公式を教えたい。分ってもらいたい。あえて、正多角錐の体積を求めさせて、その近似として円錐の体積に持っていくか。円錐の体積の公式を類推させておいて、水を使って実験するか。
10月28日(日)
円錐の体積の指導案を考える。生徒は円錐の体積の公式はすぐに予想できると思う。それをどうやって納得させるかが問題である。僕のほうが教え込むわけにはいかない。1/3になることを説明する方法はすでに考えてある。どうやって、生徒をそこまで持っていくかが問題である。なるべく生徒からの意見を尊重したい。どうやって生徒に予想を確認するまで持っていくかが問題である。
角錐の体積の指導案を練り直す。4/3になるところが邪魔である。確かに生徒は混乱すると思う。
10月29日(月)
山脇先生に1日目の指導案を見せに行く。流れは大丈夫だそうです。出来れば、角錐から角柱を作る為に余分な斜角錐を用意しておけば良いかも。また、展開図を早く用意してほしい。
平岡先生には、導入をもっとゆったりとして、子ども達の発想を生かしていこうといわれる。まだレールを引きすぎている。僕の書く指導案はどうやらレールに乗せすぎる傾向があるようである。今後題材をどう使うか。題材を生かすも殺すも授業者次第である。どういう発問をするか。どういった板書をするかを真剣に考えよう。TP案、細案を考えよう。
2日目の指導案と、題材観なども早めに書いてしまおう。
いままで、附属の先生の授業を見てうまいなあと思っていたが、それは経験の差であり、小手先のテクニックであると思い込んでいたが、今回実践授業で指導案を作っていく中で、それが違うということがわかってきた。うまく説明できないが、どこを生徒に考えさせればいいかがきちんと分っている。だから、少なく教えて、多くを考えさせることができる。授業のポイントをしっかりわかっているのである。僕が2、3週間考えてきたことを平岡先生は一瞬でそれを超えるものを作ってくる。悔しいがそれが現実である。
10月30日(火)
2日目の指導案を見せに行く。面白くないの一言。これで授業は流れるけど、生徒に考えさせるところがない。授業の視点はこれまでずっといってきたつもり。1日目の最初の指導案と同じである。何をさせたいか、何を考えさせたいか、何を計算させたいか、ねらいをはっきりさせよう。
少なく教えて多くを考えさせる。
導入をゆったりと。
生徒がつまずくところを作る。
10月31日(水)
今日は指導案を見せにいけなかった。1日目の指導案はかなりいい線行っていると思う。生徒に自由にさせるように心がけている。それでも先生の発問が多すぎるかも。授業を一定の方向に持っていこうとするとどうしてもこうなってしまう。それから、特殊な錐体について詳しく調べているので、後で生徒に混乱が起きなければ良いが。一般の錐体には使えない論法をやっている。2日目の指導案も、一応作り直した。角錐に関しては、分解して実際に体積の関係を確認できるが、円錐の場合はそれが出来ない(極限まで飛ばせば出来ないこともないのだが)ことに注目した。分解できないのに1/3になるの？と生徒に揺さぶりをかけることが出来ればよいのだが。後半、どうやって円錐の体積を調べるかを生徒に発問するつもりだが、どうやって、容器と水を使ってやるかに持っていくかが不安。いっそ、調べられそうな方法すべて用意しておくか。
11月3日(土)
指導案を山脇先生と平岡先生に見ていただいた。
単元観について、単元について、児童について、指導観についてを分けて書こう。今のままだと、ゴチャゴチャになっている。観点別に書こう。
過程について。1回目の指導案は生徒がこの授業で何をしたいかが分ってない。先生の都合で授業を進めていってる。なぜそうするか、の意味が分らない。だから先生の説明が多すぎる。2回目の指導案は、どこが山場か良く分らない。水で確認するのがメイン、確認にいたる過程がメイン?。1回目の授業としたいことが変わらない。だから先生もやってて面白くない。計算問題はやらせましょう。
11月5日(月)
最終的な指導案を見せに行く。まだ、何をしたいか指導案から見えてこないといわれるが、一応のOKをもらう。面白い授業になるのでは、とのこと。｢底面と高さが等しい四角錐と四角柱の体積を比べるところがうまく行ってない。何をさせたいのか生徒には分らない。先生のやりたいことが生徒に伝わらない。｣とのこと。とりあえず、細案を書きながら、指導案の練り直しである。
11月6日(火)
1日目の授業が終わる。ある程度指導案通りにいったので良かった。僕の指示が生徒に伝わっていなかったのが最大の反省点である。今から何をしようとするのか、今何をやっているのか、これから何をすればよいのか、が生徒に伝わっていないので、無駄な時間が多い。指示を黒板に書こう。口で説明するだけでは消えてしまう。2倍といった子と、3倍であることを一生懸命説明しようとした子のフォローができていなかった。計算をさせるところの指示があいまい。分数でやるのか小数でやるのか。
2日目の指導案がまだできていない。案はあるのだが、30分ぐらいで終わりそう。がんばらねば。何を生徒にさせたいのか、何を生徒に身につけさせるのか、自分がやりたいこと、をはっきりさせよう。授業の山場はどこか。
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