表現論ついて

◆表現論について◆

僕自身は｢表現論｣を研究しているというとたいへんオコガマシイ限りであります。まあ、勉強をしているといったほうが適切でしょう。ところで、この｢表現論｣とはどんなものなんでしょうか?中迫も大学院に来るまではこんな分野があるとは知りませんでした。ここに京都大学の西山先生による分り易い説明がありますので、それを引用しておきましょう。

「表現論の研究をしています」というとよく一般の人からは「文学の研究かなんかですか？」ときかれます。でも

表現論は文学ではありません。数学です。

たとえば数学には整数論という研究分野がありますが、それと似たようなレベルの研究分野といえます。数学の中ではかなり大きな分野ですが、一般の認知度は低いといえるでしょう。数学は大きく分けると代数学、解析学、幾何学に分かれますが、表現論はちょうどこの３つの分野が交わっているところに位置していると思います。道にたとえるとちょうど三叉路の真ん中にいるともいえます。

では表現論では何を研究するのでしょうか？数学では、 Lie 群とか対称群とか運動群といったように「群」と呼ばれる対象がよく現れますが、群は比較的わかりにくく抽象的な概念といえます。表現論ではこのわかりにくいものをわかりやすく「表現」することを目標にします。具体的には群の元を線形作用素（あるいは行列）で置き換えて考えるということになります。

何のことだか余計分らなくなりましたか。数学の世界には｢群｣と呼ばれる考え方があります。これがかなり抽象的な概念であります。自分の手で計算しにくいとかです。その計算しにくいやつを計算しやすい、より計算しやすいというか目に見える形のもの(特に行列)で表わそうというものです。

この考え方は世の中に良く広まっているのではないでしょうか。例えば｢速さ｣という概念はそれだけでは分りにくいものです。一定の規則に従って数値を対応させることによって、分りやすくしているのです。もう少し数学的なものを考えると、デカルトによる解析幾何は、点･曲線･局面といったものを数(の組)と対応させることによって、抽象的な幾何の概念を式の形に表わすことができるようになりました。