７−３を計算する場合には、７に（−３）を加えるということにもなる。
７＋（−３）これではまだ７−３とあまり変わらないよう思える。
ここで、−３の部分を正の数で表すことができればだいぶ違うのだが。
これを可能にするために次の様に考える。
１０進数の−３の絶対値３にある数を足して繰り上がる（１０になる）数は７であるから
７＋７＝１４で、１０の桁は無視すると４が残りこれが答えとなる。
この時、「３の補数は７」ということになる。
以上をまとめると ７−３ ＝ ７＋（−３）
・引く数の補数を求める ３の補数は７
・補数で足し算する ７＋７ ＝ １４
・繰り上がりを無視する ４
補数の考え方を取り入れる理由は、このように「減算を加算で処理できるから」
である。 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
【２の補数】
コンピュータが実際に扱う２進数の場合を考えてみる。
この場合も同じように７−３の計算とし、２進数で８桁とする。
７−３を計算するには、７に（−３）を加えるという方法をとった。
１０進数３を２進数８ビットで表すと ００００００１１であるから、同様に
００００００１１にある２進数にを足して１００００００００になる
（９桁目に繰り上げる）数はを求めると
１００００００００
− ００００００１１
────────────
１１１１１１０１
００００００１１の２の補数１１１１１１０１が求まるが、これを簡単に求める方法がある。
「０と１のビットパターンを反対にして１を加える」という操作をする。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
（上記減算の引く数と答えを見ると、なんとなくそんな感じはするが）
００００００１１
０と１のビットパターンを反転する ↓↓↓↓↓↓↓↓
１１１１１１００
１を加算する ＋ ０００００００１
────────────
１１１１１１０１
よって、１０進数３の２の補数は１１１１１１０１となり、７−３の代わりに
７＋（−３）＝ ７＋（３の２の補数）という計算を行と
０００００１１１
＋ １１１１１１０１
────────────
１０００００１００
￣
↓
桁あふれは無視する。
よって ０００００１００（＝１０進数の４）のなる。
このやり方により演算回路は加算だけあればよいことになる。
つまり、減算のかわりにその数の２の補数を加算しているのである。
同様に、掛け算は加算を繰り返し、除算は減算の繰り返しで実現可能になる。
コンピュータでは、いろいろな計算ができるが、ハードウェア的には加算しかできないのである。
【２の補数を使っての表現】
補数を使えば減算のかわりに加算で処理ができるが、それだけではなく「負の値を表す」
ためにも使用される。 ￣￣￣￣￣￣
例えば８ビットで表現できる数は次のようになる。
ビット列 １０進数
００００００００ → ０
０００００００１ → １
００００００１０ → ２
：
０１１１１１１０ → １２６
０１１１１１１１ → １２７
１０００００００ → １２８
１００００００１ → １２９
：
１１１１１１１０ → ２５４
１１１１１１１１ → ２５５
上記のように０〜２５５が表現できる。
しかし、負の数を表現する必要があり、そこで負の数は２の補数を使用する。
２の補数を求めるには０と１を反転して次に１を加えるという操作を行った。
１０進数１の「２の補数」を求める
２進数で１０進数１を表すと ０００００００１
０と１のビットパターンを反転する ↓↓↓↓↓↓↓↓
１１１１１１１０
１を加算する ＋ ０００００００１
────────────
このビット列が−１ １１１１１１１１
同様に１０進数２の「２の補数」を求める
２進数で１０進数２を表すと ００００００１０
０と１のビットパターンを反転する ↓↓↓↓↓↓↓↓
１１１１１１０１
１を加算する ＋ ０００００００１
────────────
このビット列が−２ １１１１１１１０
以下同様に計算すると次のようになる。
ビット列 １０進数
１１１１１１１１ → −１
１１１１１１１０ → −２
１１１１１１０１ → −３
１１１１１１００ → −４
：
１０００００１０ → −１２６
１００００００１ → −１２７
１０００００００ → −１２８
以上より、ビット列と１０進数の対応は次のようになる。
ビット列 １０進数
００００００００ → ０
０００００００１ → １
００００００１０ → ２
：
０１１１１１１０ → １２６
０１１１１１１１ → １２７
１０００００００ → −１２８
１００００００１ → −１２７
：
１１１１１１１０ → −２
１１１１１１１１ → −１
ところで、同じ１００００００１という２進数でも、それが正の値である１２９なのか
それとも負の値である−１２７を表しているのかが区別できないように思える。
それは、上記例からもわかるように２進数の最上位桁が１のものは負の値を補数で表している
ことになる。
これらの考え方はビット数に関わりなく適用できる。
又、上記８ビットの例から２の補数を使ってｎビットで表現できる整数の範囲は
−２＾（ｎ−１） 〜 ２＾（ｎ−１）−１ となる。
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例）
上記例のｎ＝８の場合
−２＾（ｎ−１） ＝−２＾（８−１）
＝−２＾７
＝−１２８
２＾（ｎ−１）−１＝２＾（８−１）−１
＝２＾７−１
＝１２８−１
＝１２７
よって、−１２８〜１２７ となる。
￣￣￣￣￣￣￣￣
【固定小数点の形式】
８ ７ ６ ５ ４ ３ ２ １ 第８ビット：８（＝２＾３）の位
┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐ 第７ビット：４（＝２＾２）の位
│ │ │ │ │ │ │ │ │ 第６ビット：２（＝２＾１）の位
└─┴─┴─┴─▲─┴─┴─┴─┘ 第５ビット：１の位
↑ 第４ビット：１／２の位
小数点位置 第３ビット：１／４の位
第２ビット：１／８の位
第１ビット：１／１６の位
┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐
０の場合 │０│０│０│０│０│０│０│０│
└─┴─┴─┴─▲─┴─┴─┴─┘
┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐
１の場合 │０│０│０│１│０│０│０│０│
└─┴─┴─┴─▲─┴─┴─┴─┘
┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐
２の場合 │０│０│１│０│０│０│０│０│
└─┴─┴─┴─▲─┴─┴─┴─┘
┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐
０．５の場合 │０│０│０│０│１│０│０│０│
└─┴─┴─┴─▲─┴─┴─┴─┘
┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐
２．２５の場合 │０│０│１│０│０│１│０│０│
└─┴─┴─┴─▲─┴─┴─┴─┘
例）
−２．７５の場合
上記例より２．７５を８ビットの固定小数点形式で表すと次のようになる
８ ７ ６ ５ ４ ３ ２ １
┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐
│０│０│１│０│１│１│０│０│
└─┴─┴─┴─▲─┴─┴─┴─┘
この値に基づき２の補数を求める。
００１０１１００
０と１を反転する ↓↓↓↓↓↓↓↓
１１０１００１１
次に１を加算する ＋ ０００００００１
────────────
１１０１０１００
よって、−２．７５は次のように表される。
８ ７ ６ ５ ４ ３ ２ １
┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐
│１│１│０│１│０│１│０│０│
└─┴─┴─┴─▲─┴─┴─┴─┘
↑
小数点位置