| ■方程式を代数的に解く |
| 前節では、Ｘｎ−ａ＝０という形の方程式の解法を示した。このような根（解）を求める操作をべき根を求める演算という。 |
| 次に、ａｎＸｎ＋ａｎ−１Ｘｎ−１＋……＋ａ１Ｘ＋ａ０＝０（ａｎ≠０）というような形の一般の方程式が代数的に解けるか否かということは興味あることであろう。 |
| この左辺がＸに関するｎ次多項式（あるいは単に、ｎ次式ともいう）であるから、上記の方程式はｎ次方程式といわれる（未知数Ｘは不定元と呼ばれ、その不定元が１つであるから、正確には１元ｎ次方程式といわれる）。 |
| 最高次の項の係数（主係数という）が１である多項式はモニック（monic）と呼ばれる。 |
各係数がそれぞれ有理数・実数・複素数の場合には、主係数で多項式を割ってやれば、
Ｘｎ＋（ａｎ−１／ａｎ）Ｘｎ−１＋……＋（ａ１／ａｎ）Ｘ＋（ａ０／ａｎ）＝０
であり、各係数（ａｉ／ａｎ）は再びそれぞれ有理数・実数・複素数になり、もちろんこれと最初の方程式は同じ根を持つので、予め最初からモニックを考える場合も多い。 |
| ここで、代数的に解けるという意味は、各係数から四則演算（算術的演算）とべき根を求める演算（これらを合わせ、代数的演算と呼ぶ）を有限回行って、方程式の根を求めることができることをいう。注１ |
| 注１ |
| 「複素数の範囲では複素係数ｎ次式が１次式の積に分解できる」という今日、代数学の基本定理と呼ばれる定理をガウスが証明している。 |
| ａｊ∈Ｃなるｎ次式ａｎＸｎ＋ａｎ−１Ｘｎ−１＋……＋ａ１Ｘ＋ａ０（ａｎ≠０）が複素数の範囲でａｎ（Ｘ−α１）（Ｘ−α２）・……・（Ｘ−αｎ）などと分解できるので、ｎ次方程式が重根（重解）を考慮し、α１，α２，……，αｎというｎ個の根を持つことを代数学の基本定理は保証している。が、それは根の存在を保証しているのであって、代数的に解けることと等価ではない。 |
| また、複素数まで範囲では多項式は１次式の積に分解されるが、どこまで数の範囲を広げれてやればよいかという判断も重要な点である。 |
| 例えば、Ｘ２＋１は複素数の範囲では（Ｘ＋ｉ）（Ｘ−ｉ）となるが、有理数や実数の範囲では既約であり、Ｘ２−２は複素数や実数の範囲では（Ｘ＋√２）（Ｘ−√２）と分解できるが、有理数の範囲では既約である。 |
| 中学や高校などで、まず習う因数分解や因数定理による解法があるが、それには限界が伴っていて、特別な場合でしか解法を与えることはできない。 |
| そこで、ｎがごく低次の場合には代数的解法、即ち、根の公式があることをみたい。 |
| ■判別式と基本対称式 |
| 代数方程式の解法を説明する前に、判別式について説明しておく。 |
| ｎ個の不定元Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎに対し、 |
Δ＝ Π（Ｘｉ−Ｘｊ）＝（Ｘ１−Ｘ２）（Ｘ１−Ｘ３）・……・（Ｘ１−Ｘｎ）
ｉ＜ｊ ×（Ｘ２−Ｘ３）・……・（Ｘ２−Ｘｎ）
……
×（Ｘｎ−１−Ｘｎ） |
| をＸ１，Ｘ２，……，Ｘｎの差積（difference
product）と呼ぶ。注２ |
方程式ｆ（Ｘ）＝ａｎＸｎ＋ａｎ−１Ｘｎ−１＋……＋ａ１Ｘ＋ａ０＝０
（ａｎ≠０）
の根をα１，α２，……，αｎとする時、 |
Δ＝ Π（αｉ−αｊ）が定まるが、
その２乗Δ２＝ Π（αｉ−αｊ）２
ｉ＜ｊ ｉ＜ｊ
をｆ（Ｘ）＝０の判別式（discriminant）と呼び、ＤやＤ（ｆ）で表す。 |
| 注２ |
| Πは積を表す記号である。この場合、添字がｉ＜ｊなるＸｉ−Ｘｊの全ての積を作ることを意味する。 |
| 次に、根と係数の関係について述べる。 |
| ｆ（Ｘ）＝ａｎ（Ｘ−α１）（Ｘ−α２）……（Ｘ−αｎ）であるから、 |
ｆ（Ｘ）＝ａｎ｛Ｘｎ−（α１＋α２＋……＋αｎ）Ｘｎ−１
＋（α１α２＋α２α３＋……＋αｎ−１αｎ）Ｘｎ−２
−（α１α２α３＋α１α２α４＋……＋αｎ−２αｎ−１αｎ）Ｘｎ−３
＋……＋（−１）ｎα１α２……αｎ｝
と展開できる。 |
簡単の為に、ｐ１＝α１＋α２＋……＋αｎ
ｐ２＝α１α２＋α２α３＋……＋αｎ−１αｎ
ｐ３＝α１α２α３＋α１α２α４＋……＋αｎ−２αｎ−１αｎ
……
ｐｎ＝α１α２……αｎ
とおく。 |
| ｆ（Ｘ）＝ａｎＸｎ＋ａｎ−１Ｘｎ−１＋……＋ａ１Ｘ＋ａ０と係数を比べれば、 |
−ａｎｐ１＝ａｎ−１
ａｎｐ２＝ａｎ−２
……
（−１）ｎａｎｐｎ＝ａ０ |
∴ ｐ１＝ −（ａｎ−１／ａｎ）
ｐ２＝ ａｎ−２／ａｎ
……
ｐｎ＝ （−１）ｎ（ａ０／ａｎ）
これらを根と係数の関係という。 |
| 次に、Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎを不定元とし、対称式や交代式について説明する。 |
| Ｓ＝｛１，２，……，ｎ｝を１からｎまでの自然数の集合とし、ＳからＳへの１対１写像を考えよう。 |
| つまり、
写像σ：Ｓ→Ｓで、ｉ≠ｊならばσ（ｉ）≠σ（ｊ）で、
｛σ（１），σ（２），……，σ（ｎ）｝は順序を無視してＳと一致する
ようなものである。 |
σは｛１，２，……，ｎ｝の並べ替えを与えるから、特にＳ上の置換（permutation）
と呼ばれ、置換の全体の集合をＳｎで表す。Ｓｎの元は明らかにｎ！個ある。注３ |
| 注３ |
ｎ！はｎの階乗と呼ばれ、ｎ・（ｎ−１）・……・２・１を意味する。
また、Ｓｎはｎ次対称群（symmetric
group）と呼ばれる重要な群である。 |
| １→σ（１） ２→σ（２） …… ｎ→σ（ｎ）という置換σは |
 のように簡略化して表記される。
|
σ（ｉ）＝ｊ σ（ｊ）＝ｉ（ｉ≠ｊ）
σ（ｋ）＝ｋ（ｋ≠ｉ、ｋ≠ｊ）
というｉとｊを入れ換える置換σは互換（transposition）と呼ばれる。 |
のように互換はなるが、これを簡単に（ｉ ｊ）で表す。 |
ｇ（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）をＸ１，Ｘ２，……，Ｘｎの多項式とする時、
Ｘ１，Ｘ２，……，ＸｎをＳ上の置換σで入れ換えた多項式を
σｇ（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）で表す。 |
| 即ち、σｇ（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）＝ｇ（Ｘσ（１），Ｘσ（２），……，Ｘσ（ｎ）） |
任意の置換σに対し、
σｇ（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）＝ ｇ（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）となる時、
ｇ（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）は対称多項式（または単に、対称式）と呼ばれる。 |
| 例えば、ｐ１，ｐ２，……，ｐｎは対称式であり、これらは基本対称式と呼ばれる。 |
任意の互換τに対し、
τｇ（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）＝−ｇ（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）となる時、
ｇ（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）は交代多項式（または単に、交代式）と呼ばれる。 |
例えば、Δ＝ Π（Ｘｉ−Ｘｊ）は交代式である。
ｉ＜ｊ |
交代式と対称式について以下の命題が明らかに成立する：
ｆ１（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）、ｆ２（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）を任意の交代式、
ｇ１（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）、ｇ２（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）を任意の対称式
とする時、
（１）ｆ１（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）±ｆ２（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）は交代式
（２）ｇ１（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）±ｇ２（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）は対称式
（３）ｆ１（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）・ｆ２（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）、
ｇ１（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）・ｇ２（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）は対称式
（４）ｆ１（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）・ｇ１（Ｘ１，Ｘ２，……，Ｘｎ）は交代式 |
|
| Δは交代式であるから、上記の命題より、Δ２＝Ｄは対称式であることが分かる。 |
| また、自明ではないが、任意の対称式は基本対称式（の多項式）で表されることが知られている。注４ |
であるから、判別式は根の基本対称式で表される。
また、基本対称式は根と係数の関係より
ａｎ−１／ａｎ，ａｎ−２／ａｎ，……，ａ０／ａｎで表される。
ゆえに、判別式Ｄはａｎ−１／ａｎ，ａｎ−２／ａｎ，……，ａ０／ａｎの多項式で表すことができる。 |
| 注４ |
| 例えば、
Ｘ１２＋Ｘ２２＝（Ｘ１＋Ｘ２）２−２Ｘ１Ｘ２
Ｘ１２＋Ｘ２２＋Ｘ１２Ｘ２＋Ｘ１Ｘ２２
＝（Ｘ１＋Ｘ２）２−２Ｘ１Ｘ２＋Ｘ１Ｘ２（Ｘ１＋Ｘ２）
＝（Ｘ１＋Ｘ２）２＋Ｘ１Ｘ２（Ｘ１＋Ｘ２−２） |