| ■２次方程式の根の公式 |
| １次方程式ａＸ＋ｂ＝０（ａ≠０）は、Ｘ＝−ｂ／ａと簡単に解ける。 |
２次方程式ａＸ２＋ｂＸ＋ｃ＝０（ａ≠０）の根の公式は中学や高校で習ったように、
Ｘ＝｛−ｂ±（ｂ２−４ａｃ）１/２｝／２ａである。注１ |
| 以下、簡単にではあるが、根の公式と判別式の関連を述べる。 |
ａＸ２＋ｂＸ＋ｃ＝０の根をα１，α２とすると、
ａＸ２＋ｂＸ＋ｃ＝ａ（Ｘ−α１）（Ｘ−α２）
＝ａ｛Ｘ２−（α１＋α２）Ｘ＋α１α２｝
であるから、 |
| 根と係数の関係 α１＋α２＝−ｂ／ａ α１α２＝ｃ／ａを得る。 |
| ここで、Ｄ＝（α１−α２）２＝（α１＋α２）２−４α１α２ |
∴ Ｄ＝（ｂ／ａ）２−４（ｃ／ａ）＝ｂ２／ａ２−４ａｃ／ａ２
＝（ｂ２−４ａｃ）／ａ２ |
| √Ｄ＝Δ＝（ｂ２−４ａｃ）１/２／ａゆえ、Ｘ＝−ｂ／２ａ±√Ｄ／２ |
| 根の公式の中に判別式Ｄが含まれているので、次のような根の様相が分かる。 |
| ａ，ｂ，ｃ∈Ｒとする時、
Ｄ＞０ならば、α１とα２は実根（実数根）
Ｄ＝０ならば、α１＝α２で重根
Ｄ＜０ならば、α１とα２は複数共役根 |
| また、Ｄ＝０の時、ａＸ２＋ｂＸ＋ｃ＝ａ（Ｘ＋ｂ／２ａ）２という完全平方と呼ばれる形に変形できることに注意しておく。 |
| 注１ |
ａ｛Ｘ２＋（ｂ／ａ）Ｘ｝＋ｃ＝ａ｛（Ｘ＋ｂ／２ａ）２−（ｂ／２ａ）２｝＋ｃ
＝ａ（Ｘ＋ｂ／２ａ）２−ａ（ｂ２／４ａ２）＋ｃ
＝ａ（Ｘ＋ｂ／２ａ）２−ｂ２／４ａ＋ｃ
＝ａ（Ｘ＋ｂ／２ａ）２−（ｂ２−４ａｃ）／４ａ |
| ∴ ａ（Ｘ＋ｂ／２ａ）２＝（ｂ２−４ａｃ）／４ａ |
| ∴ （Ｘ＋ｂ／２ａ）２＝（ｂ２−４ａｃ）／４ａ２ |
| ∴ Ｘ＋ｂ／２ａ ＝±｛（ｂ２−４ａｃ）／４ａ２｝１/２ |
| ∴ Ｘ＋ｂ／２ａ ＝±（ｂ２−４ａｃ）１/２／２ａ |
| ■３次方程式の根の公式（カルダノの解法） |
さて、３次方程式の根の公式について述べるのだが、ここで紹介する解法はタルタリア
（Tartaglia 1500?-1557）によって発見された方法である。 |
| だが、カルダノ（Cardano
1501-1576）がタルタリアの発見を自分のものとして発表したことから、今日カルダノの解法と呼ばれている。 |
| 根の公式は３次方程式Ｘ３＋ａＸ＋ｂ＝０に対して求めれば十分である。注２ |
| 注２ |
一般には３次方程式はａＸ３＋ｂＸ２＋ｃＸ＋ｄ＝０（ａ≠０）の形であるが、
Ｘ＝Ｙ−ｂ／３ａという変数変換により、
ａＹ２＋（ｃ−ｂ２／３ａ）Ｙ＋ｄ−ｂｃ／３ａ＋２ｂ３／２７ａ２＝０という２次の項のない方程式になることが分かる。 |
| ｆ（Ｘ）＝Ｘ３＋ａＸ＋ｂ＝０……（１） |
| （１）を解く為に、Ｘ＝Ｕ＋Ｖとおくと、 |
Ｘ３＝（Ｕ＋Ｖ）３＝Ｕ３＋３Ｕ２Ｖ＋３ＵＶ２＋Ｖ３＝Ｕ３＋Ｖ３＋３ＵＶ（Ｕ＋Ｖ）
＝３ＵＶＸ＋Ｕ３＋Ｖ３ |
| ∴ Ｘ３−３ＵＶＸ−（Ｕ３＋Ｖ３）＝０……（２） |
| （１）と（２）の辺々の係数を比べると、Ｕ３＋Ｖ３＝−ｂ ＵＶ＝−ａ／３を得る。 |
| ∴ Ｕ３＋Ｖ３＝−ｂ Ｕ３Ｖ３＝−ａ３／２７……（３） |
| ここで、（３）から２次方程式の根と係数の関係を考えれば、 |
| Ｔ２＋ｂＴ−ａ３／２７＝０……（４） |
| はＵ３とＶ３を根とする２次方程式であるが、これは根の公式を用いて解ける。 |
即ち、Ｔ＝−ｂ／２±｛ｂ２−４（−ａ３／２７）｝1/2／２
＝−ｂ／２±（ｂ２／４＋ａ３／２７）1/2 |
∴
Ｕ３＝−ｂ／２＋（ｂ２／４＋ａ３／２７）1/2
Ｖ３＝−ｂ／２−（ｂ２／４＋ａ３／２７）1/2
とする。 |
| ところで、判別式Ｄを計算してみると、Ｄ＝−２７ｂ２−４ａ３となる。注３ |
（ｂ２／４＋ａ３／２７）1/2＝｛（４ｂ２＋ａ３）／１０８｝1/2
＝（−Ｄ／１０８）1/2
から、 |
Ｕ３＝−ｂ／２＋（−Ｄ／１０８）1/2
Ｖ３＝−ｂ／２−（−Ｄ／１０８）1/2 |
Ｕ、Ｖはそれぞれ右辺の３乗根として、複素数の範囲で３つずつ求めことができるが、
ＵＶ＝−ａ／３から、ＵとＶの一方が決まれば他方が決まることに注意する。
３つのＵに対応してＶが求まり、Ｘ＝Ｕ＋Ｖにより３個の根が求まることになる。 |
| そこで、Ｕの１つをＵ１＝｛−ｂ／２＋（−Ｄ／１０８）1/2｝１/3 とする時、 |
ＵＶ＝−ａ／３を満たすＶとして、Ｖ１＝｛−ｂ／２−（−Ｄ／１０８）1/2｝１/3
が対応する。 |
同様に、ＵＶ＝−ａ／３を満たす（Ｕ，Ｖ）を定めてやると、
（Ｕ１，Ｖ１）、（ωＵ１，ω２Ｖ１）、（ω２Ｕ１，ωＶ１）を得る。注４ |
| 以上をまとめると、 |
| ３次方程式Ｘ３＋ａＸ＋ｂ＝０の根は、
Ｕ１＋Ｖ１，ωＵ１＋ω２Ｖ１，ω２Ｕ１＋ωＶ１である。
ただし、Ｕ１＝｛−ｂ／２＋（−Ｄ／１０８）1/2｝１/3
Ｖ１＝｛−ｂ／２−（−Ｄ／１０８）1/2｝１/3
ω ＝（−１＋√３ｉ）／２
Ｄ ＝−２７ｂ２−４ａ３
|
|
| 注３ |
| 判別式を簡単にする為にも係数が少ない方がよかったのである。だが、それでも慣れない方には少々計算が面倒であるが御了承願おう。 |
ｆ（Ｘ）＝０の根をα１，α２，α３とすると、
ｆ（Ｘ）＝Ｘ３＋ａＸ＋ｂ＝（Ｘ−α１）（Ｘ−α２）（Ｘ−α３）ゆえ、 |
ｆ'（Ｘ）＝３Ｘ２＋ａ
＝（Ｘ−α１）（Ｘ−α２）
＋（Ｘ−α２）（Ｘ−α３）
＋（Ｘ−α３）（Ｘ−α１） |
∴ （α１−α２）（α１−α３）＝３α１２＋ａ
−（α２−α３）（α１−α２）＝（α２−α３）（α２−α１）＝３α２２＋ａ
（α２−α３）（α１−α３）＝（α３−α１）（α３−α２）＝３α３２＋ａ |
∴ −｛（α１−α２）（α１−α３）（α２−α３）｝２
＝（３α１２＋ａ）（３α２２＋ａ）（３α３２＋ａ）
＝２７（α１α２α３）２＋９｛（α１α２）２＋（α２α３）２＋（α３α１）２｝ａ
＋３（α１２＋α２２＋α３２）ａ２＋ａ３ |
根と係数の関係 α１＋α２＋α３＝０
α１α２＋α２α３＋α３α１＝ａ
α１α２α３＝−ｂ
から、 |
（α１α２）２＋（α２α３）２＋（α３α１）２
＝（α１α２＋α２α３＋α３α１）２−２（α１α２α３）（α１＋α２＋α３）＝ａ２ |
α１２＋α２２＋α３２
＝（α１＋α２＋α３）２−２（α１α２＋α２α３＋α３α１）＝−２ａ |
∴ −Ｄ＝２７ｂ２＋９ａ３−６ａ３＋ａ３＝２７ｂ２＋４ａ３
従って、Ｘ３＋ａＸ＋ｂ＝０の判別式はＤ＝−２７ｂ２−４ａ３となる。 |
| 注４ |
| αの３乗根はωを１の虚数立方根とする時、3√α，ω
3√α，ω２ 3√αであるという前節の事実を思い出そう。 |
| ２次方程式の場合と比べてもこの解法は容易ではない。３次方程式が実根を持つ時でも、それらの根は複素数を経由して求めなければならないというのは興味深い。 |