| ■フィボナッチ数列の一般項 |
| ａ１＝ａ２＝１、ａｎ＋１＝ａｎ＋ａｎ−１（ｎ≧２）なるフィボナッチ数列は前述の一般論で見たように一般項を求めることができる。 |
| もう一度その解法を振り返りながら、ａｎの一般項を求めてみよう。 |
特性方程式Ｘ２−Ｘ−１＝０を作り、２次方程式の根の公式を用いて解けば、
Ｘ＝（１±√５）／２となる。 |
α＝（１＋√５）／２
β＝（１−√５）／２とおく。ここで、α＋β＝１ α−β＝√５に注意しておく。 |
数列｛ａｎ＋１−αａｎ｝が初項ａ２−αａ１＝１−α＝β、公比βの等比数列、
数列｛ａｎ＋１−βａｎ｝が初項ａ２−βａ１＝１−β＝α、公比αの等比数列であり、 |
ａｎ＋１−αａｎ＝βｎ−１・β＝βｎ
ａｎ＋１−βａｎ＝αｎ−１・α＝αｎ
辺々を引けば、（α−β）ａｎ＝αｎ−βｎ |
∴ ａｎ＝（αｎ−βｎ）／√５
＝［｛（１＋√５）／２｝ｎ−｛（１−√５）／２｝ｎ］／√５
を得る。 |
| ■フィボナッチ数列と黄金比 |
| フィボナッチ数列と黄金比の間には密接な関係が存在する。 |
黄金比は１：（√５−１）／２＝（√５＋１）／２：１であったが、
フィボナッチ数列の特性方程式の根
α＝（１＋√５）／２
β＝（１−√５）／２＝−（√５−１）／２＝−１／α
には黄金比の数が現れている。 |
｛ａｎ｝：１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，……
の前項と次項をそれぞれ分母と分子にする比を考えれば、 |
ａ２／ａ１＝ １／１ ＝１
ａ３／ａ２＝ ２／１ ＝２
ａ４／ａ３＝ ３／２ ＝1.5
ａ５／ａ４＝ ５／３ ＝1.66666666……
ａ６／ａ５＝ ８／５ ＝1.6
ａ７／ａ６＝ １３／８ ＝1.625
ａ８／ａ７＝ ２１／１３＝1.61538461……
ａ９／ａ８＝ ３４／２１＝1.61904761……
ａ10／ａ９＝ ５５／３４＝1.61764705……
ａ11／ａ10＝ ８９／５５＝1.61818181……
ａ12／ａ11＝１４４／８９＝1.61797752…… |
| のように、ａｎ＋１／ａｎの値はｎが大きくなるにつれてα＝1.61803398……へ漸近的に近づいてゆくことが推測できるであろう。 |
| 事実、厳密に次の命題が成立する： |
｛ａｎ｝をフィボナッチ数列とする時、 lim（ａｎ＋１／ａｎ）＝α
ｎ→∞ |
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| （証明） |
ａｎ＋１／ａｎ＝（αｎ＋１−βｎ＋１）／（αｎ−βｎ）
＝｛（αｎ＋１−βｎ＋１）／αｎ｝／｛（αｎ−βｎ）／αｎ｝
＝（α−αβｎ＋１／αｎ＋１）／（１−βｎ／αｎ）
＝α｛１−（β／α）ｎ＋１｝／｛１−（β／α）ｎ｝ |
β／α＝（１−√５）／（１＋√５）＝（１−√５）２／（１＋√５）（１−√５）
＝（１−２√５＋５）／（１−５）＝−（６−２√５）／４
＝−（３−√５）／２ |
２＜√５＜３ ∴ −１＜−３＋√５＜０ ∴−１／２＜β／α＜０
−１／２＜β／α＜０ゆえ、ｎ→∞ならば（β／α）ｎは０に収束する。注１ |
| 従って、（ａｎ＋１／ａｎ）→α （証明終わり） |
| 注１ |
| −１＜ｒ＜１ならばｒｎ→０（ｎ→∞） |
また、α＝ という連分数展開から、 |
| 近似分数を考えると、
１＝１／１ ＝ａ２／ａ１
１＋１／１ ＝１＋１＝２＝２／１＝ａ３／ａ２
１＋１／（１＋１／１）＝１＋１／２＝３／２＝ａ４／ａ３
１＋１／｛１＋１／（１＋１／１）｝＝１＋２／３＝５／３＝ａ５／ａ４
１＋１／［１＋１／｛１＋１／（１＋１／１）｝］＝１＋３／５＝８／５＝ａ６／ａ５などとなっていることからも、α＝lim（ａｎ＋１／ａｎ）が分かる。
ｎ→∞ |