| ■フィボナッチ数列 |
| 前節で説明した黄金比と関連する数列で、フィボナッチ（fibonatcci
1180?-1250?）が発見した数列がある。 |
| ｛ａｎ｝：１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，…… |
| 注意深く見れば、前２項の和を次項とするように作られた数列である。 |
| 即ち、ａ１＝ａ２＝１とし、３項間漸化式 ａｎ＋１＝ａｎ＋ａｎ−１（ｎ≧２）で数列は与えられる。 |
| まず、どのような事象の数学モデルとしてフィボナッチ数列が現れるか見てみよう。 |
| 雌雄一組の兎がいたとしよう。まだ、この兎のつがいは幼生体であるが、一定期間の後に成長し、生殖能力を持つ成体になる。実際には成体になるまでの期間も、繁殖によって産まれてくる個体数もまちまちであり、成体になる以前に死亡する場合や繁殖能力を持たない遺伝的奇形もあるのかもしれないので個体数の増え方は一様ではないが、概ね繁殖を繰り返し兎の個体数は増大してゆく。 |
| そこで、次のような条件を満たすと仮定して個体数の増加の仕方がどのようであるか計算をしてみたい。 |
条件（ａ） 幼生体の兎のつがいは１ヶ月すると、必ず成体となる。
条件（ｂ） 成体の兎のつがいは１ヶ月すると、必ず１つがいを産む。
条件（ｃ） 兎は生殖能力を有し、考える期間において死亡しないものとする。 |
（最初の月） 幼生体の１つがいがいる。
（１ヶ月後） １つがいの幼生体は成体となる。
（２ヶ月後） １つがいの成体は１つがいを産む。
（３ヶ月後） １つがいの成体は１つがいを産み、１つがいの幼生体は成体となる。
（４ヶ月後） ２つがいの成体は２つがいを産み、１つがいの幼生体は成体となる。
（５ヶ月後） ３つがいの成体は３つがいを産み、２つがいの幼生体は成体となる。
（６ヶ月後） ５つがいの成体は５つがいを産み、３つがいの幼生体は成体となる。 |
| 同様に、つがいを単位として個体数を数えた表は次のようになる。 |
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期間
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０
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１
|
２
|
３
|
４
|
５
|
６
|
７
|
８
|
９
|
１０
|
１１
|
１２
|
…
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幼生体（組）
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１
|
−
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１
|
１
|
２
|
３
|
５
|
８
|
１３
|
２１
|
３４
|
５５
|
８９
|
…
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|
成体 （組）
|
−
|
１
|
１
|
２
|
３
|
５
|
８
|
１３
|
２１
|
３４
|
５５
|
８９
|
１４４
|
…
|
|
総つがい数
|
１
|
１
|
２
|
３
|
５
|
８
|
１３
|
２１
|
３４
|
５５
|
８９
|
１４４
|
２３３
|
…
|
|
| ｎ≧２として、 |
（ｎヶ月後の成体のつがい数）＝（ｎ−１ヶ月後の成体と幼生体のつがい数）
＝（ｎ−１ヶ月後の総つがい数）
（ｎヶ月後の幼生体のつがい数）＝（ｎ−１ヶ月後の成体のつがい数）
＝（ｎ−２ヶ月後の総つがい数） |
∴ （ｎヶ月後の総つがい数）＝（ｎ−１ヶ月後の総つがい数）
＋（ｎ−２ヶ月後の総つがい数） |
最初（０ヶ月後と便宜的に規約）と１ヶ月後の総つがい数はそれぞれ１であるから、
ｆ（ｎ）＝（ｎヶ月後の総つがい数）とおけば、 |
ｆ（０）＝ｆ（１）＝１であり、ｆ（ｎ）＝ｆ（ｎ−１）＋ｆ（ｎ−２）（ｎ≧２）
これはフィボナッチ数列である。 |
| ■３項間漸化式と特性方程式 |
| 一般に、ａ１，ａ２及び ３項間漸化式 ａｎ＋１＝ｐａｎ＋ｑａｎ−１（ｐｑ≠０）が与えられている時、ａｎの一般項は以下のように求めることができる。 |
| 特性方程式（characteristic
equation）と呼ばれるＸ２＝ｐＸ＋ｑという方程式を作り、その根をα，βとおく。 |
| 根と係数の関係から、α＋β＝ｐ，αβ＝−ｑとなる。注１ |
| ∴ 漸化式は ａｎ＋１＝（α＋β）ａｎ−αβｑａｎ−１と書けるので、次のように変形できる。 |
ａｎ＋１−αａｎ＝β（ａｎ−αａｎ−１）……（１）
ａｎ＋１−βａｎ＝α（ａｎ−βａｎ−１）……（２） |
| α≠βの場合： |
（１）は数列｛ａｎ＋１−αａｎ｝が初項ａ２−αａ１、公比βの等比数列
（２）は数列｛ａｎ＋１−βａｎ｝が初項ａ２−βａ１、公比αの等比数列
となることを示すので、 |
ａｎ＋１−αａｎ＝βｎ−１（ａ２−αａ１）……（３）
ａｎ＋１−βａｎ＝αｎ−１（ａ２−βａ１）……（４）
を得る。注２ |
（３）と（４）の辺々を引けば、
（α−β）ａｎ＝αｎ−１（ａ２−βａ１）−βｎ−１（ａ２−αａ１）
とａｎ＋１が消去できて、両辺をα−β（≠０）で割ればａｎが求まる。 |
| α＝βの場合： |
（１）と（２）従って（３）と（４）は一致し、
ａｎ＋１−αａｎ＝αｎ−１（ａ２−αａ１）……（５）
を得る。 |
（５）の両辺をαｎ＋１（≠０）で割れば、
ａｎ＋１／αｎ＋１−ａｎ／αｎ＝（ａ２−αａ１）／α２……（６） |
（６）は数列｛ａｎ／αｎ｝が初項ａ１／α、公差（ａ２−αａ１）／α２の等差数列
であることを示すので、 |
| ａｎ／αｎ＝ａ１／α＋（ｎ−１）｛（ａ２−αａ１）／α２｝を得る。注３ |
上式の両辺にαｎ（≠０）を掛ければ、
ａｎ＝ａ１αｎ−１＋αｎ−２（ｎ−１）（ａ２−αａ１）
＝ａ１αｎ−１＋αｎ−１（ｎ−１）（ａ２／α−ａ１）
となり、ａｎが求まる。 |
以上を整理してまとめると、
ａ１，ａ２及び３項間漸化式 ａｎ＋１＝ｐａｎ＋ｑａｎ−１（ｐｑ≠０）
で数列｛ａｎ｝が与えられる時、
α，βをその特性方程式Ｘ２＝ｐＸ＋ｑの根とすると、
一般項は
ａｎ＝Ａαｎ−１＋Ｂβｎ−１ （α≠β）
ａｎ＝（Ｃ＋ｎＤ）αｎ−１ （α＝β）
となる。
ただし、
Ａ＝（ａ２−βａ１）／（α−β）
Ｂ＝（ａ２−αａ１）／（β−α）
Ｃ＝２ａ１−ａ２／α
Ｄ＝ ａ１＋ａ２／α
とする。 |
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| 注１ |
Ｘ２−ｐＸ−ｑ＝０と（Ｘ−α）（Ｘーβ）＝Ｘ２−（α＋β）＋αβ＝０の係数を比べればよい。
また、ｐｑ≠０であるからｐ≠０かつｑ≠０で、αβ＝−ｑ≠０より、α≠０かつβ≠０
に注意しておく。 |
| 注２ |
数列｛ａｎ｝が初項ａ、公比ｒの等比数列である時、２項間漸化式はａｎ＋１＝ｒａｎ
で与えられ、一般項はａｎ＝ｒｎ−１ａとなる。 |
| 注３ |
数列｛ａｎ｝が初項ａ、公差ｄの等差数列である時、２項間漸化式はａｎ＋１−ａｎ＝ｄ
で与えられ、一般項はａｎ＝ａ＋（ｎ−１）ｄとなる。 |