| ■自然数と整数 |
| 我々は物を数えたりする時に、番号を用いる。 |
| ｛１，２，３，４，５，６，……｝
即ち、上記の集合と物の要素に対応関係を考えている。
この集合は自然数（natural
number）と呼ばれ、Ｎで表される（自然数に０を含める流儀もある）。Ｎと要素が一対一の対応がつけられる集合を可算集合あるいは可付番集合（countable
set）と呼び、Ｎの基数注１を可算基数（countable
power）といい、
(アレフゼロ）と書く。 |
| 注１ |
| 基数とは有限集合における"要素の個数"を拡張した概念である。無限集合の場合、その要素は無限であるが、無限にも度合いがある。二つの集合ＡとＢの要素の間に一対一対応がつく時、ＡとＢは対等（equivalent）であるといい、Ａ〜Ｂと表す。この時ＡとＢの基数（または濃度）は等しいという。 |
| 無限集合を扱う場合、有限集合における常識的な感覚は通用しない。 |
| 例えば、（０を除く）偶数全体｛２，４，６，８，……｝はＮの真部分集合（Ｎと等しくなく完全に含まれている集合）であるが、Ｎと対等となり、可算基数を持つ。実際、次のような一対一対応を考えれば明らかである。 |
１ ２ ３ ４ …… ｎ ……
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
２ ４ ６ ８ …… ２ｎ …… |
| ０（zero）は足し算に関し、数を変えない性質を持つなど特別な数である。つまり全ての数ａに対して、ａ＋０＝０＋ａ＝ａが成立する。 |
| 自然数同士を足し算すると必ず自然数であるが、自然数同士の引き算は自然数とは限らない。このことから次のような集合は必然的である。 |
| 自然数に負の符合をつけた集合つまり、
｛−１，−２，−３，−４，−５，−６，……｝
は可算集合である。 |
これらの集合を合わせて、整数（integral
number）と呼び、Ｚで表す：
Ｚ＝｛０，±１，±２，±３，±４，±５，±６，……｝
正の整数をＺ＋（＝Ｎ）、負の整数をＺ−などと表すこともある。 |
| ■有理数と実数 |
| 整数同士の加法・減法・乗法の結果は全て整数となる。だが、整数を整数を割った結果（もちろん０では割れないとする）が整数であるとは限らない。 |
そこで、ａ／ｂ（ｂ≠０）という形の数を考え、これを有理数（rational
number）と呼び、その全体をＱで表す：
Ｑ＝｛ａ／ｂ｜ａ，ｂ∈Ｚ ｂ≠０｝注２ |
| ａ／ｂ（ｂ≠０）という形で表すことのできない数を無理数（irrational
number）と呼ぶ。有理数と無理数を合わせ、実数（real
number）と呼び、その全体をＲで表す 。 |
| Ｑ⊃Ｚ⊃Ｎであるが、Ｑ〜Ｚ〜Ｎつまり、ＱやＺも可算集合である。注３ |
| またカントール（Cantor
1845-1918）は対角線論法という方法を用いて、Ｒが可算ではないことを示した。注４ |
| 注２ |
集合の要素を元(げん)と呼ぶが、元ａが集合Ａの要素であることをａ∈Ａと表す。
｛元の形｜元の満たす条件｝で集合を表すことがよくある。 |
| 注３ |
| 可算集合に有限個の要素を付け加えた集合も可算であることはすぐ分かる。なぜなら、増えた要素分、番号をずらして数えればよい。また、有限または可算集合の、有限または可算個の和集合が、有限または可算集合となることも、（重複要素を飛ばして）番号付けをしてやることで示すことができる。 |
| 上のことに注意すれば、ＮとＺ−は可算集合であり、｛０｝は一つの元からなる有限集合で、それらの和集合であるＺ＝Ｎ∪｛０｝∪Ｚ−は可算となる。 |
| また、Ｚｎ＝｛ａ／ｎ｜ａ∈Ｚ ｎ∈Ｎを固定｝という分母が同じ有理数を元とするＱの部分集合を考えれば、各ＺｎはＺと対等であり、可算である。それらの可算個の和集合であるＱ＝Ｚ１∪Ｚ２∪Ｚ３∪……も可算となる。 |
| 注４ |
| このことから無理数全体は可算でないことが分かる。無理数全体が可算であると仮定するとＱが可算であるので、それらの和集合であるＲが可算となってしまう。矛盾従って、無理数全体は可算ではない。即ち無理数のが有理数より多くあることになる。 |
| ■無理数（代数的無理数と超越数） |
| 無理数は（有理数より多いレベルで）無限に存在する。 |
ここで、ｆ(Ｘ)＝ａｎＸｎ＋ａｎ−１Ｘｎ−１＋……＋ａ０（ａｎ≠０）という係数ａｉが有理数であるようなＸの多項式を有理係数（あるいはＱ係数）多項式という。
ｆ(α)＝０を満たす時、Ｘ＝αは多項式ｆ(Ｘ)（あるいは代数方程式ｆ(Ｘ)＝０）の根（あるいは、解）と呼ばれる。 |
| 有理係数多項式の根となる数は代数的数（algebraic
number）といわれ、どのような有理係数多項式の根にもならない数は超越数（transcendental
number）といわれる。 |
例えば、√２＝1.41421356……
という２の（正の）平方根はＸ２−２の根注５であり、代数的無理数と呼ばれる。 |
しかし、
π ＝3.14159265…… 円周率
ｅ ＝2.71828182…… 自然対数の底
などは有理係数多項式の根とならないので、超越的である。 |
| 注５ Ｘ２−２＝０の解は二つ、√２と−√２である。 |