| ■分数と小数 |
我々は数を表す場合、使い勝手によって分数と小数の二通りの表現を用いる。分数で表現
できる数を有理数といったが、無理数の性質は小数で考えてみると、よりいっそう明確になる。 |
０．２５
０．３３３３３３……
０．１２１２１２……
という三つの小数を例に考えてみる。 |
０．２５＝２５／１００＝１／４であり、小数点以下の数列が有限で終わるものを有限小
数という。後者はこれと異なり小数点以下に数列が無限に続く小数であるが、その数列の並び方に特徴がある。 |
| ０．３３３３３３……＝１／３はすぐ分かるであろうが、後者を分数で表すには工夫が必要になる。０．１２１２１２……＝０．１２＋０．００１２＋０．００００１２＋……という無限等比級数となることに注意すればよい。 |
０．１２
０．００１２ ＝０．１２ × ０．０１
０．００００１２＝０．００１２× ０．０１
＝０．１２ ×（０．０１）２
……という風に各項がなっている。 |
| Ｓ＝０．１２＋０．００１２＋０．００００１２＋……とおき、上に注意して、０．０１×Ｓとしてみる。０．０１Ｓ＝０．００１２＋０．００００１２＋……で右辺に同様の級数が現れるので、その差を考えると、０．９９Ｓ＝０．１２を得る。注６ |
| ∴ Ｓ＝０．１２／０．９９＝１２／９９＝４／３３ |
| 循環する同じ節が含まれている上記のような小数は循環小数といい、循環節といわれる繰り返す数字の最初と最後（一桁ならばその上のみ）にドットをつけて、
・
０．３３３３３３……＝０．３
・・
０．１２１２１２……＝０．１２
・ ・
０．１２３１２３……＝０．１２３
のように表現を簡略化する。 |
| 有理数は有限小数か循環小数として表現可能であるが、√２、π、ｅなどは非循環小数である。 |
| 注６ |
| 一般に、数列｛ａｎ｝から作られた形式和ａ１＋ａ２＋ａ３＋……を級数といい、∑ａｎで表す。第ｎ部分和Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋……＋ａｎという各項の和による新しい数列を考え、部分和列｛Ｓｎ｝が収束（つまり、確定した有限の値を持つ）して極限Ｓを持つ時、級数∑ａｎは収束するといい、Ｓを級数の和と呼ぶ。その時、∑ａｎ＝Ｓと書く。 |
| ｛Ｓｎ｝が発散する（つまり、有限確定な値が定まらない）時、級数∑ａｎは発散するという。特に、｛Ｓｎ｝が∞（または－∞）に発散する時は、∑ａｎ＝∞（または－∞）と書く。 |
| 数列｛ａｎ｝がａｎ＝ａｒｎ－１（初項ａ、公比ｒ）なる等比数列の場合、Ｓｎは簡単に求めることができ、∑ａｎの和が求まる（自明なａ＝０の時は除く）。 |
| ｒ＝１の時、ａｎ＝ａ（一定）で明らかにＳｎ＝ｎａであり、ａの正負に応じ、Ｓｎ→∞（または－∞）となるから、∑ａｎ＝∞（または－∞）となる。ゆえに、ｒ≠１とする。 |
Ｓｎ＝ａ＋ａｒ＋ａｒ２＋……＋ａｒｎ－１
の両辺にｒを掛けると、
ｒＳｎ＝ａｒ＋ａｒ２＋……＋ａｒｎ－１＋ａｒｎ |
それぞれの差をとって、Ｓｎ－ｒＳｎ＝ａ－ａｒｎ ∴（１－ｒ）Ｓｎ＝ａ（１－ｒｎ）
１－ｒ（≠０）で割ると、Ｓｎ＝ａ（１－ｒｎ）／（１－ｒ） |
ここで、－１＜ｒ＜１ならば、ｒｎ→０（ｎ→∞）ゆえ、Ｓｎ→ａ／（１－ｒ）
即ち、∑ａｎ＝ａ／（１－ｒ）（－１＜ｒ＜１）が分かる。
この場合には、ａ＝０．１２、ｒ＝０．０１とすればよい。 |
また、Ｓ＝０．１２１２……の両辺に１００を掛け、１００Ｓ＝１２．１２１２……として、その差から求めても同様の結果が得られる。
これは上記の論法でｒの代わりに、１／ｒを掛け
て級数の各項を相殺したことと同じである。 |
| ■虚数と複素数 |
| 自然数、整数、有理数、実数と数の概念を拡張してきた。しかし、それだけでは充分ではない。例えば、Ｘ２＋４＝０という代数方程式を解こうとすると、Ｘ２＝－４であり、二乗して負になるようなＸは実数の範囲では見つからない。 |
そこで、二乗して負になるように虚数（imaginary
number）を導入し、特に二乗し－１になる数√－１を虚数単位ｉで表す。即ち ｉ２＝－１
そうすれば、Ｘ２＝－４は解けて、 Ｘ＝±√－２＝±√２ｉとできる。 |
| 実数ａ、ｂに対して、Ｚ＝ａ＋ｂｉなる数を複素数（complex
number）と呼び、その全体をＣで表す。ａを実部（real
part）、ｂを虚部（imaginary
part）といい、各々をＲｅ(Ｚ)、Ｉｍ(Ｚ)で記すこともある。ａ＝０の時、純虚数と呼ばれる。 |
Ｚ１＝ａ＋ｂｉ Ｚ２＝ｃ＋ｄｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ）に対し、
Ｚ１＝Ｚ２⇔「ａ＝ｃかつｂ＝ｄ」と定義し、
Ｃに四則演算を以下のように導入する：注７ |
| 和 Ｚ１＋Ｚ２＝（ａ＋ｂｉ）＋（ｃ＋ｄｉ）＝（ａ＋ｃ）＋（ｂ＋ｄ）ｉ |
| 差 Ｚ１－Ｚ２＝（ａ＋ｂｉ）－（ｃ＋ｄｉ）＝（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）ｉ |
積 Ｚ１・Ｚ２＝（ａ＋ｂｉ）・（ｃ＋ｄｉ）＝ａｃ＋ａｄｉ＋ｂｃｉ＋ｂｄｉ２
＝（ａｃ－ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｉ |
商 Ｚ１／Ｚ２＝（ａ＋ｂｉ）／（ｃ＋ｄｉ）
＝（ａ＋ｂｉ）・（ｃ－ｄｉ）／（ｃ＋ｄｉ）（ｃ－ｄｉ）
＝｛（ａｃ＋ｂｄ）＋（－ａｄ＋ｂｃ）ｉ｝／｛ｃ２－（ｄｉ）２｝
＝｛（ａｃ＋ｂｄ）＋（ｂｃ－ａｄ）ｉ｝／（ｃ２＋ｄ２）
＝｛（ａｃ＋ｂｄ）／（ｃ２＋ｄ２）｝＋｛（ｂｃ－ａｄ）／（ｃ２＋ｄ２）｝ｉ |
| （ただし、除法の場合、Ｚ２≠０即ち「ｃ≠０またはｄ≠０」） |
| 注７ |
| 虚部が０ならば複素数は実数であるからＲ⊂Ｃである。つまり、Ｒを含むようなものとしてＣを作り、これらの定義はＲまでで成立した性質を壊さないように自然な形で導入したものである。二つの複素数が実数つまり、その虚部が０なる時、実数での法則が成立することは容易に確かめられる。この演算規則に従って、結合法則、分配法則、交換法則などが実数の場合と同様に成立する。 |
| 今までごく直感的に数を拡張をしてきたが、厳密に数を構成してゆく為には代数学や解析学の抽象概念を学ばなければならない。Ｚは環（ring）、Ｑ、Ｒ、Ｃは体（field）と呼ばれる演算構造などを有した集合であるが、抽象論を用いることによってその構造がより明らかになる。 |
| 興味のある方は以下のような少し進んだ専門書を読んでも面白いのではないかと思う。 |
『代数系入門』松坂和夫 岩波書店
（根気がいるかもしれないがいい本である）
『初等代数学』成田正雄 共立出版 共立数学講座７
（初学者にも親切であるが絶版だろう） |