代数方程式の根の公式（３） 
■４次方程式の根の公式（フェラリの解法）
３次方程式の場合と同様に、Ｘ４＋ａＸ２＋ｂＸ＋ｃ＝０という３次の項のない４次方程式に関して解法を述べる。注１
注１
一般には４次方程式はａＸ４＋ｂＸ３＋ｃＸ２＋ｄＸ＋ｅ＝０（ａ≠０）の形であるが、Ｘ＝Ｙ−ｂ／４ａという変数変換により、３次の項のない方程式になることが分かる。
カルダノの弟子であるフェラリ（Ferrari 1522-1565）によって発見された解法を紹介する。
ｆ（Ｘ）＝Ｘ４＋ａＸ２＋ｂＸ＋ｃ＝０……（１）
Ｘ４＋ａＸ２＋ｂＸ＋ｃ＝（Ｘ２＋ａ）２−ａＸ２−ａ２＋ｂＸ＋ｃ＝０から、
（１）は（Ｘ２＋ａ）２＝ａＸ２−ｂＸ＋ｃ＋ａ２　と変形できる。
そこで、新しい変数Ｔを次のように導入する。
　（Ｘ２＋ａ＋Ｔ）２ 
＝（Ｘ２＋ａ）２＋２（Ｘ２＋ａ）Ｔ＋Ｔ２ 
＝ａＸ２−ｂＸ＋ｃ＋ａ２＋２（Ｘ２＋ａ）Ｔ＋Ｔ２ 
＝（ａ＋２Ｔ）Ｘ２−ｂＸ＋Ｔ２＋２ａＴ＋ａ２＋ｃ
∴　（Ｘ２＋ａ＋Ｔ）２＝（ａ＋２Ｔ）Ｘ２−ｂＸ＋Ｔ２＋２ａＴ＋ａ２＋ｃ……（２）
（２）はＴに関して恒等式（Ｔがどのような値でも成立する式）であるが、右辺のＸに関する２次式が完全平方になるようにＴを決定したい。その為には右辺の判別式が０であればよい。
即ち、ｂ２−４（ａ＋２Ｔ）（Ｔ２＋２ａＴ＋ａ２＋ｃ）＝０……（３）ならばよい。
これはＴに関する３次方程式であり、カルダノの解法によって解くことができる。
その根の１つをＴ１＝（Ｐ１＋Ｑ１）／２−５ａ／６とする。
ただし、Ｐ１＝｛−Ｂ／２＋（−Ｄ／１０８）１/２｝１/３ 
　　　　Ｑ１＝｛−Ｂ／２−（−Ｄ／１０８）１/２｝１/３ 
　　　　Ａ　＝−（ａ２／３＋４ｃ） 
　　　　Ｂ　＝−２ａ３／２７＋８ａｃ／３−ｂ２ 
　　　　Ｄ　＝−２７Ｂ２−４Ａ３　　　　　　　　　　　　　とする。注２　
（２）にＴ１を代入すれば、
（Ｘ２＋ａ＋Ｔ１）２＝（ａ＋２Ｔ１）｛Ｘ−ｂ／２（ａ＋２Ｔ１）｝２
∴　Ｘ２＋ａ＋Ｔ１＝±（ａ＋２Ｔ１）１/２｛Ｘ−ｂ／２（ａ＋２Ｔ１）｝
Ｘ２＋ａ＋Ｔ１＝　（ａ＋２Ｔ１）１/２｛Ｘ−ｂ／２（ａ＋２Ｔ１）｝……（４） 
Ｘ２＋ａ＋Ｔ１＝−（ａ＋２Ｔ１）１/２｛Ｘ−ｂ／２（ａ＋２Ｔ１）｝……（５） 
はそれぞれＸに関する２次方程式であるから、これらを解いて各２つ合計４つの根が以下のように得られる。
Ｘ＝｛　（ａ＋２Ｔ１）３/２±Ｍ１｝／２（ａ＋２Ｔ１） ， 
　　｛−（ａ＋２Ｔ１）３/２±Ｍ２｝／２（ａ＋２Ｔ１）
ただし、 
　　Ｍ１＝｛（ａ＋２Ｔ１）（ａ２−４ｃ）−ｂ２＋２ｂ（ａ＋２Ｔ１）３/２｝１/２ 
　　Ｍ２＝｛（ａ＋２Ｔ１）（ａ２−４ｃ）−ｂ２−２ｂ（ａ＋２Ｔ１）３/２｝１/２ 
とする。注３
注２
（３）つまり、ｂ２−４（ａ＋２Ｔ）（Ｔ２＋２ａＴ＋ａ２＋ｃ）＝０を展開し、 
８Ｔ３＋２０ａＴ２＋（１６ａ２−８ｃ）Ｔ＋４ａ３−４ａｃ−ｂ２＝０
Ｔ＝Ｓ−２０ａ／３・８＝Ｓ−５ａ／６とおけば、
８Ｓ３−２（ａ２／３＋４ｃ）Ｓ−２ａ３／２７＋８ａｃ／３−ｂ２＝０という２次の項のない方程式となる。主係数８で割ってモニックを考えよう。
ｈ（Ｓ）＝Ｓ３−（ａ２／３＋４ｃ）Ｓ／４ 
　　　　　　　　　　　　　　　＋（−２ａ３／２７＋８ａｃ／３−ｂ２）／８とおく。
Ａ＝−（ａ２／３＋４ｃ）　Ｂ＝−２ａ３／２７＋８ａｃ／３−ｂ２とすれば、
ｈ（Ｓ）＝Ｓ３＋（Ａ／４）Ｓ＋Ｂ／８＝０であり、前節の結果を用いその一つの根Ｔ１は次のようになる：
Ｔ１＝　｛−Ｂ／８・２＋（−Ｄ（ｈ）／１０８）１/２｝１/３ 
　　　＋｛−Ｂ／８・２−（−Ｄ（ｈ）／１０８）１/２｝１/３−５ａ／６ 

Ｄ（ｈ）＝−２７（Ｂ／８）２−４（Ａ／４）３＝（−２７Ｂ２−４Ａ３）／６４
ここで、Ｄ＝−２７Ｂ２−４Ａ３とおくと、Ｄ（ｈ）＝Ｄ／６４ 
（後半で、このＤがｆ（Ｘ）=０の判別式と一致することを示す）
｛（−Ｂ／８）／２｝１/３＝｛（−Ｂ／２）／８｝１/３＝（−Ｂ／２）１/３／２
｛（−Ｄ（ｈ）／１０８）１/２｝１/３＝｛（−Ｄ／６４・１０８）１/２｝１/３ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　  ＝｛（−Ｄ／１０８）１/２／８｝１/３ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　  ＝｛（−Ｄ／１０８）１/２｝１/３／２
であるから、 
　　　　　Ｐ１＝｛−Ｂ／２＋（−Ｄ／１０８）１/２｝１/３ 
　　　　　Ｑ１＝｛−Ｂ／２−（−Ｄ／１０８）１/２｝１/３ 
とおけば、Ｔ１＝（Ｐ１＋Ｑ１）／２−５ａ／６と表される。
注３
（４）及び（５）を解く（以下、複合同順とする）。
Ｘ２＋ａ＋Ｔ１＝±（ａ＋２Ｔ１）１/２｛Ｘ−ｂ／２（ａ＋２Ｔ１）｝ 
の両辺に（ａ＋２Ｔ１）を掛けると、
　　（ａ＋２Ｔ１）Ｘ２＋（ａ＋２Ｔ１）（ａ＋Ｔ１） 
＝±（ａ＋２Ｔ１）１/２・（ａ＋２Ｔ１）｛Ｘ−ｂ／２（ａ＋２Ｔ１）｝ 
＝±（ａ＋２Ｔ１）１/２｛（ａ＋２Ｔ１）Ｘ−ｂ／２｝ 
＝±（ａ＋２Ｔ１）３/２Ｘｂ（ａ＋２Ｔ１）１/２／２ 

∴　（ａ＋２Ｔ１）Ｘ２（ａ＋２Ｔ１）３/２Ｘ 
　　　　　　　　　　　＋（ａ＋２Ｔ１）（ａ＋Ｔ１）±ｂ（ａ＋２Ｔ１）１/２／２＝０
ｋ＋（Ｘ）＝（ａ＋２Ｔ１）Ｘ２−（ａ＋２Ｔ１）３/２Ｘ 
　　　　　　　　　　　＋（ａ＋２Ｔ１）（ａ＋Ｔ１）＋ｂ（ａ＋２Ｔ１）１/２／２ 
ｋ−（Ｘ）＝（ａ＋２Ｔ１）Ｘ２＋（ａ＋２Ｔ１）３/２Ｘ 
　　　　　　　　　　　＋（ａ＋２Ｔ１）（ａ＋Ｔ１）−ｂ（ａ＋２Ｔ１）１/２／２ 
とおこう。
（４）即ち、ｋ＋（Ｘ）＝０の根は 
Ｘ＝｛　（ａ＋２Ｔ１）１/２±Ｄ（ｋ＋）１/２｝／２ 
　＝｛　（ａ＋２Ｔ１）３/２±（ａ＋２Ｔ１）・Ｄ（ｋ＋）１/２｝／２（ａ＋２Ｔ１）
（５）即ち、ｋ−（Ｘ）＝０の根は 
Ｘ＝｛−（ａ＋２Ｔ１）１/２±Ｄ（ｋ−）１/２｝／２ 
　＝｛−（ａ＋２Ｔ１）３/２±（ａ＋２Ｔ１）・Ｄ（ｋ−）１/２｝／２（ａ＋２Ｔ１）
ここで、 
　（ａ＋２Ｔ１）２・Ｄ（ｋ±） 
＝｛（ａ＋２Ｔ１）３/２｝２ 
　−４（ａ＋２Ｔ１）｛（ａ＋２Ｔ１）（ａ＋Ｔ１）±ｂ（ａ＋２Ｔ１）１/２／２｝ 
＝（ａ＋２Ｔ１）３−４（ａ＋２Ｔ１）２（ａ＋Ｔ１）２ｂ（ａ＋２Ｔ１）３/２ 
＝ａ３＋６ａ２Ｔ１＋１２ａＴ１２＋８Ｔ１３ 
　−４（ａ２＋４ａＴ１＋４Ｔ１２）（ａ＋Ｔ１）２ｂ（ａ＋２Ｔ１）３/２ 
＝ａ３＋６ａ２Ｔ１＋１２ａＴ１２＋８Ｔ１３ 
　−４ａ３−１６ａ２Ｔ１−１６ａＴ１２−４ａ２Ｔ１−１６ａＴ１２−１６Ｔ１３ 
　２ｂ（ａ＋２Ｔ１）３/２ 
＝−８Ｔ１３−２０ａＴ１２−１４ａ２Ｔ１−３ａ３２ｂ（ａ＋２Ｔ１）３/２
ところで、Ｔ１は（３）を満たしているから、 
８Ｔ１３＋２０ａＴ１２＋（１６ａ２−８ｃ）Ｔ１＋４ａ３−４ａｃ−ｂ２＝０
∴　−（８Ｔ１３＋２０ａＴ１２）＝（１６ａ２−８ｃ）Ｔ１＋４ａ３−４ａｃ−ｂ２
∴（ａ＋２Ｔ１）２・Ｄ（ｋ±） 
＝ （１６ａ２−８ｃ）Ｔ１＋４ａ３−４ａｃ−ｂ２−１４ａ２Ｔ１−３ａ３ 
　２ｂ（ａ＋２Ｔ１）３/２ 
＝２ａ２Ｔ１−８ｃＴ１＋ａ３−４ａｃ−ｂ２２ｂ（ａ＋２Ｔ１）３/２ 
＝２（ａ２−４ｃ）Ｔ１＋ａ（ａ２−４ｃ）−ｂ２２ｂ（ａ＋２Ｔ１）３/２ 
＝（ａ＋２Ｔ１）（ａ２−４ｃ）−ｂ２２ｂ（ａ＋２Ｔ１）３/２
　　Ｍ１＝｛（ａ＋２Ｔ１）（ａ２−４ｃ）−ｂ２＋２ｂ（ａ＋２Ｔ１）３/２｝１/２  
　　Ｍ２＝｛（ａ＋２Ｔ１）（ａ２−４ｃ）−ｂ２−２ｂ（ａ＋２Ｔ１）３/２｝１/２ 
とおけば、
　（ａ＋２Ｔ１）・Ｄ（ｋ＋）１/２＝Ｍ１ 
　（ａ＋２Ｔ１）・Ｄ（ｋ−）１/２＝Ｍ２で、 

Ｘ＝｛　（ａ＋２Ｔ１）３/２±Ｍ１｝／２（ａ＋２Ｔ１） ，  
　　｛−（ａ＋２Ｔ１）３/２±Ｍ２｝／２（ａ＋２Ｔ１）
 
            （1999.8.8　高林廉） 
 
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