| ■４次方程式の根の公式（続き） |
| 前述で求めた４次方程式の根をもう少し別の形で表示したい。 |
| ｆ（Ｘ）＝Ｘ４＋ａＸ２＋ｂＸ＋ｃ＝０の根を |
α１＝ （ａ＋２Ｔ１）１/２／２＋Ｍ１／２（ａ＋２Ｔ１）
α２＝ （ａ＋２Ｔ１）１/２／２−Ｍ１／２（ａ＋２Ｔ１）
α３＝−（ａ＋２Ｔ１）１/２／２＋Ｍ２／２（ａ＋２Ｔ１）
α４＝−（ａ＋２Ｔ１）１/２／２−Ｍ２／２（ａ＋２Ｔ１） |
| とすると、 |
α１＋α２＝（ａ＋２Ｔ１）１/２
α１＋α３＝（Ｍ１＋Ｍ２）／２（ａ＋２Ｔ１）
α１＋α４＝（Ｍ１−Ｍ２）／２（ａ＋２Ｔ１） |
| が明らかに成立することが分かる。 |
| そこで、α１＋α２＝β、α１＋α３＝γ、α１＋α４＝δとおこう。 |
| また、４次方程式の根と係数の関係は |
α１＋α２＋α３＋α４＝０
α１α２＋α１α３＋α１α４＋α２α３＋α２α４＋α３α４＝ａ
α１α２α３＋α１α２α３＋α１α２α４＋α２α３α４＝−ｂ
α１α２α３α４＝ｃ |
| であることに注意する。注４ |
| 注４ |
| Ｘ４＋ａＸ２＋ｂＸ＋ｃ＝（Ｘ−α１）（Ｘ−α２）（Ｘ−α３）（Ｘ−α４）を展開して係数を比べればよい。 |
| α１＋α２＋α３＋α４＝０より、
β＋γ＋δ＝３α１＋α２＋α３＋α４＝２α１＋（α１＋α２＋α３＋α４）＝２α１
β−γ−δ＝−α１＋α２−α３−α４＝２α２−（α１＋α２＋α３＋α４）＝２α２
−β＋γ−δ＝−α１−α２＋α３−α４＝２α３−（α１＋α２＋α３＋α４）＝２α３
−β−γ＋δ＝−α１−α２−α３＋α４＝２α４−（α１＋α２＋α３＋α４）＝２α４ |
| となるから、 |
α１＝ （β＋γ＋δ）／２ α３＝（−β＋γ−δ）／２
α２＝ （β−γ−δ）／２ α４＝（−β−γ＋δ）／２ |
| と表される。 |
| 上記の根の表現から３次方程式の場合とパラレルに、変数を一つ増やしＸ＝Ｕ＋Ｖ＋Ｗとおけば４次方程式は解けるということも分かる。 |
Ｕ＝±β／２ ４Ｕ２＝β２
Ｖ＝±γ／２ という組み合わせで根Ｘ＝Ｕ＋Ｖ＋Ｗは決まるから、４Ｖ２＝γ２
Ｗ＝±δ／２ ４Ｗ２＝δ２ |
| という関係があるが、
β，γ，δの間には次のような関係が成立する： |
β２＋γ２＋δ２＝−２ａ
β２γ２＋γ２δ２＋δ２β２＝ａ２−４ｃ ……（６）注５
βγδ＝−ｂ （β２γ２δ２＝ｂ２） |
| （６）を根と係数の関係として考えれば、β２，γ２，δ２を根とする３次方程式 |
| ｇ（Ｙ）＝Ｙ３＋２ａＹ２＋（ａ２−４ｃ）Ｙ−ｂ２＝０ ……（７） |
| が得られる。ｇ（Ｙ）＝０はｆ（Ｘ）＝０の決定方程式と呼ばれ、Ｄ（ｆ）＝Ｄ（ｇ）が示される。判別式を実際に計算すれば、注６ |
| Ｄ＝１６ａ４ｃ−４ａ３ｂ２−１２８ａ２ｃ２＋１４４ａｂ２ｃ２−２７ｂ４＋２５６ｃ３ |
| 以上をまとめると、注７ |
| ４次方程式Ｘ４＋ａＸ２＋ｂＸ＋ｃ＝０の根は、
Ｘ＝ （β＋γ＋δ）／２， （β−γ−δ）／２，
（−β＋γ−δ）／２，（−β−γ＋δ）／２である。
ただし、
β ＝（ａ＋２Ｔ１）１/２
γ ＝（Ｍ１＋Ｍ２）／２（ａ＋２Ｔ１）
δ ＝（Ｍ１−Ｍ２）／２（ａ＋２Ｔ１）
Ｔ１＝（Ｐ１＋Ｑ１）／２−５ａ／６
Ｐ１＝｛−Ｂ／２＋（−Ｄ／１０８）１/２｝１/３
Ｑ１＝｛−Ｂ／２−（−Ｄ／１０８）１/２｝１/３
Ａ ＝−（ａ２／３＋４ｃ）
Ｂ ＝−２ａ３／２７＋８ａｃ／３−ｂ２
Ｄ ＝−２７Ｂ２−４Ａ３
＝１６ａ４ｃ−４ａ３ｂ２−１２８ａ２ｃ２
＋１４４ａｂ２ｃ２−２７ｂ４＋２５６ｃ３
Ｍ１＝｛（ａ＋２Ｔ１）（ａ２−４ｃ）−ｂ２＋２ｂ（ａ＋２Ｔ１）３/２｝１/２
Ｍ２＝｛（ａ＋２Ｔ１）（ａ２−４ｃ）−ｂ２−２ｂ（ａ＋２Ｔ１）３/２｝１/２ |
|
| 注５ |
| α１＋α２＋α３＋α４＝０より、 |
β２＝（α１＋α２）２＝−（α１＋α２）（α３＋α４）
γ２＝（α１＋α３）２＝−（α１＋α３）（α２＋α４）
δ２＝（α１＋α４）２＝−（α１＋α４）（α２＋α３） |
| 根と係数の関係を用いて次のような関係が成立する。 |
β２＋γ２＋δ２
＝−｛（α１＋α２）（α３＋α４）
＋（α１＋α３）（α２＋α４）
＋（α１＋α４）（α２＋α３）｝
＝２（α１α２＋α１α３＋α１α４＋α２α３＋α２α４＋α３α４）
＝−２ａ |
β２γ２＋γ２δ２＋δ２β２
＝ （α１＋α２）（α３＋α４）（α１＋α３）（α２＋α４）
＋（α１＋α３）（α２＋α４）（α１＋α４）（α２＋α３）
＋（α１＋α４）（α２＋α３）（α１＋α２）（α３＋α４）
＝ （α１α２＋α１α３＋α１α４＋α２α３＋α２α４＋α３α４）２
＋（α１α２α３＋α１α２α３＋α１α２α４＋α２α３α４）
×（α１＋α２＋α３＋α４）
−４α１α２α３α４
＝ａ２−４ｃ |
βγδ
＝ （α１＋α２）（α１＋α３）（α１＋α４）
＝ （α１α２α３＋α１α２α３＋α１α２α４＋α２α３α４）
＋α１２（α１＋α２＋α３＋α４）
＝−ｂ |
| 注６ |
α１−α２＝γ＋δ α１−α３＝β＋δ α１−α４＝β＋γ
α２−α３＝β−γ α２−α４＝β−δ α３−α４＝γ−δ
であるから、 |
Ｄ（ｆ）
＝｛（α１−α２）（α１−α３）（α１−α４）
（α２−α３）（α２−α４）（α３−α４）｝２
＝｛（γ＋δ）（β＋δ）（β＋γ）（β−γ）（β−δ）（γ−δ）｝２
＝｛（β＋γ）（β−γ）（β＋δ）（β−δ）（γ＋δ）（γ−δ）｝２
＝｛（β２−γ２）（β２−δ２）（γ２−δ２）｝２
＝Ｄ（ｇ） |
| また、Ｙ＝Ｚ−２ａ／３とおくと、 |
| ｇ（Ｚ−２ａ／３）＝Ｚ３−（ａ２／３＋４ｃ）Ｚ−２ａ３／２７＋８ａｃ／３−ｂ２
Ａ＝−（ａ２／３＋４ｃ）
Ｂ＝−２ａ３／２７＋８ａｃ／３−ｂ２
であったから、
Ｚ３＋ＡＺ＋Ｂ＝０で、Ｄ（ｇ）＝−２７Ｂ２−４Ａ３＝Ｄ |
∴ Ｄ＝−２７（−２ａ３／２７＋８ａｃ／３−ｂ２）２＋４（ａ２／３＋４ｃ）
３
＝−２７（４ａ６／７２９−３２ａ４ｃ／８１
＋４ａ３ｂ２／２７＋６４ａ２ｃ２／９−１６ａｂ２ｃ／３＋ｂ４）
＋４（ａ６／２７＋４ａ４ｃ／３＋１６ａ２ｃ２＋６４ｃ３）
＝−４ａ６／２７＋３２ａ４ｃ／３−４ａ３ｂ２−１９２ａ２ｃ２＋１４４ａｂ２ｃ ＋４ａ６／２７＋１６ａ４ｃ／３ ＋ ６４ａ２ｃ２
−２７ｂ４＋２５６ｃ３
＝１６ａ４ｃ−４ａ３ｂ２−１２８ａ２ｃ２
＋１４４ａｂ２ｃ２−２７ｂ４＋２５６ｃ３ |
| 判別式の計算は決定方程式を経由しないで、定義に従って計算すると大変である。 |
| 注７ |
| これらを手計算で求めようとすると容易ではない。数学用計算ソフトを活用するのが望ましいだろう。もっとも、分かり易い形で求めることには限界がある。 |
| ■５次以上の代数方程式について |
| ３次方程式や４次方程式の上記で見た解法はそれぞれ低次の解法へと帰着させながら解いていった。５次方程式も４次方程式以下の解法へ帰着させればうまく解けるのではないかと思われる人がいるであろう。 |
しかし、５次以上の方程式は代数的に解けないことが、アーベル（Abel
1802-1829）
とガロワ（Galois
1811-1832）によって独立に証明されている。注８ |
| 注８ |
| 特に、ガロワの方法はガロワ群と呼ばれる概念を用いた代数学において重要な理論となっている。 |