| ■黄金分割 |
| 黄金分割（golden
section）と呼ばれるピタゴラス（Pytagoras 572?-492? B.C.）の発見した分割方法を紹介する。黄金分割の発見は正五角形と密接な関係を有している。 |
正五角形ＡＢＣＤＥを考え、対角線ＡＤとＢＥの交点をＰとする時、四角形ＢＣＤＰは
平行四辺形になる（図１参照）。注１ |
| ＡＢ＝ＣＤ かつ ＣＤ＝ＢＰ
∴ ＡＢ＝ＢＰ
また、二等辺三角形ＡＢＥと二等辺三角形ＥＡＤは相似であるから、
∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ＝∠ＥＡＤ
∴ 三角形ＡＢＥと三角形ＰＥＡは相似である（二角相等）。
∴ ＡＢ：ＰＥ＝ＢＥ：ＥＡ
ＡＢ＝ＥＡ＝ＢＰゆえ、
ＢＰ：ＰＥ＝ＢＥ：ＢＰ
|
図１ 黄金分割を与える正五角形
|
|
ＢＰ：ＰＥ＝ＢＥ：ＢＰなる時、点Ｐは線分ＢＥを黄金分割するといわれる。
同様に、正五角形のどの対角線も互いを黄金分割することが分かるであろう。
このＢＰ：ＰＥ＝ＢＥ：ＢＰなる比は黄金比（golden
ratio）と呼ばれる。 |
| 注１ |
| 一般に、四角形ＡＢＣＤ（対角線の交点をＯとする）
が平行四辺形である為の同値条件は以下の５つである。 |
| （１）ＡＢ//ＤＣ かつ ＡＤ//ＢＣ（対辺平行） |
|
| （２）ＡＢ＝ＤＣ かつ ＡＤ＝ＢＣ（対辺相等） |
| （３）∠Ａ＝∠Ｃ かつ ∠Ｂ＝∠Ｄ（対角相等） |
| （４）ＡＢ//ＤＣ かつ ＡＢ＝ＤＣ
または、 |
| ＡＤ//ＢＣ かつ ＡＤ＝ＢＣ |
| （１組の対辺が平行かつ相等） |
（５）ＡＯ＝ＣＯ かつ ＢＯ＝ＤＯ
（対角線が中点で交わる） |
|
正五角形の性質から、ＢＣ//ＡＤ かつ ＢＥ//ＣＤ
ゆえに、ＢＣ//ＰＤ かつ ＢＰ//ＣＤ 上記の条件（２）より、四角形ＢＣＤＰ
は平行四辺形である。 |
| ■黄金比 |
| 以下で、黄金比がどのような比であるか求めてみよう。 |
ＢＰ：ＰＥ＝ＢＥ：ＢＰにおいて、
ＢＥ＝１ ＢＰ＝Ｘ（＞０）とすると、
ＰＥ＝１−Ｘ（図２参照） |
図２ 黄金比
|
|
| Ｘ：１−Ｘ＝１：Ｘ ∴ Ｘ２＝１−Ｘ ∴ Ｘ２＋Ｘ−１＝０ |
| ２次方程式の根の公式より、Ｘ＝（−１±√５）／２ |
| Ｘ＞０ゆえ、Ｘ＝（−１＋√５）／２ 従って、黄金比は１：（√５−１）／２となる。 |
| ここで、
｛（√５＋１）／２｝｛（√５−１）／２｝
＝（√５−１）（√５＋１）／４
＝（５−１）／４
＝４／４＝１
から、 |
（√５−１）／２と（√５＋１）／２は互いの逆数であり、
１：（√５−１）／２＝（√５＋１）／２：１とも黄金比は表される。注２ |
| 注２ |
| （√５−１）／２＝0.61803398……（√５＋１）／２＝1.61803398…… |
| ■黄金比の連分数展開 |
| 黄金比に現れる（√５−１）／２や（√５＋１）／２の別表現を紹介しよう。 |
| α＝（√５＋１）／２とすると、（√５−１）／２＝１／α |
| また、（√５−１）／２＝（√５＋１）／２−１より、（√５−１）／２＝α−１ |
| ∴ α−１＝１／α ∴ α＝１＋１／α |
| αは１に自分自身の逆数を加えたものであるから、αを逐次代入してゆくと、 |
α＝１＋１／α
＝ ＝ ＝ ＝…… |
∴ （√５＋１）／２＝ |
（√５−１）／２＝ |
| このように分母に分数が連なるものを連分数（continued
fraction）という。 |