| ■極形式による複素数の表示 |
複素数を複数平面に図示するのに、三角関数を用いた極形式（polarform）と呼ばれる以下で説明する表示法は非常に便利である。
複素数Ｚ＝ａ＋ｂｉに対し、|Ｚ|＝ｒとおく。Ｐ（ａ，ｂ）で、実軸の正の方向を始線
としてＯＰを動径とする角をθとする（図４）。 |
図４ 極形式
|
三角関数の定義から
ａ／ｒ＝cosθ
ｂ／ｒ＝sinθ
となる。
よって、
ａ＝ｒcosθ
ｂ＝ｒsinθで、
Ｚ＝ｒ（cosθ＋sinθｉ）
と表すことができる。このθをＺの偏角（argument）といい、argＺで表す。注３ |
| 注３ |
| |Ｚ|＝ｒ＝０の時、偏角θは自由に定めると規約する。また、|Ｚ|＝０となる時はＺ＝０に限ることはすぐ分かる。ここで、argＺは確定した値ではなく、２πの整数倍で同じ複素数を表すことに注意する。 |
| ■複素平面における和差積商の作図 |
| 作図の前に、複素数の極形式から分かる絶対値や偏角の性質を見てみよう。
２つの複素数Ｚ１、Ｚ２に対し、argＺ１＝θ１、argＺ２＝θ２とすると、
Ｚ１＝|Ｚ１|（cosθ１＋sinθ１ｉ）
Ｚ２＝|Ｚ２|（cosθ２＋sinθ２ｉ）となるから、
Ｚ１・Ｚ２
＝|Ｚ１||Ｚ２|（cosθ１＋sinθ１ｉ）（cosθ２＋sinθ２ｉ）
＝|Ｚ１||Ｚ２|
×｛（cosθ１cosθ２−sinθ１sinθ２）＋（cosθ１sinθ２＋sinθ１cosθ２）ｉ｝
＝|Ｚ１||Ｚ２|｛cos（θ１＋θ２）＋sin（θ１＋θ２）ｉ｝ （∵ 加法定理）
∴ |Ｚ１・Ｚ２|
＝ |Ｚ１||Ｚ２|
……（１）
arg（Ｚ１・Ｚ２）＝argＺ１＋argＺ２……（２） |
ここで、Ｚ２≠０とする。従って、|Ｚ２|≠０
（Ｚ１／Ｚ２）・Ｚ２＝Ｚ１であるから、
（１）より、|（Ｚ１／Ｚ２）・Ｚ２|＝|Ｚ１|であり、|Ｚ１／Ｚ２|・|Ｚ２|＝|Ｚ１|
∴ |Ｚ１／Ｚ２|
＝ |Ｚ１|／|Ｚ２|
……（３）
また、arg｛（Ｚ１／Ｚ２）・Ｚ２｝＝argＺ１であるから、
（２）より、arg（Ｚ１／Ｚ２）＋argＺ２＝argＺ１
∴ arg（Ｚ１／Ｚ２）＝argＺ１−argＺ２……（４）注４ |
| 注４（３）（４）はある偏角の値に対して、この等式が成立することを意味している。 |
| まず、Ｚ１＝ａ＋ｂｉ
Ｚ２＝ｃ＋ｄｉ
Ｐ１（ａ，ｂ） Ｐ２（ｃ，ｄ）とし、Ｚ１とＺ２の和と差の作図をする。 |
| 和：
Ｚ１＋Ｚ２＝（ａ＋ｃ）＋（ｂ＋ｄ）ｉ
であり、Ｑ（ａ＋ｃ，ｂ＋ｄ）とおく。
線分Ｐ１Ｐ２の中点の座標は
（（ａ＋ｃ）／２，（ｂ＋ｄ）／２）
で、線分ＯＱの中点と一致するから、
ＯＰ１ＱＰ２は平行四辺形になる。
ＯＰ１とＯＰ２を二辺とする平行四辺形
を描いて、対角線ＯＱを与える頂点Ｑが
Ｚ１＋Ｚ２を表す（図５）。 |
差：
Ｚ１−Ｚ２＝（ａ−ｃ）＋（ｂ−ｄ）ｉ
であり、Ｒ（ａ−ｃ，ｂ−ｄ）とおく。
（Ｚ１−Ｚ２）＋Ｚ２＝Ｚ１ゆえ、
Ｚ１−Ｚ２とＺ２の和でＺ１が求まると
考えればよい（図５）。
ＯＰ１を対角線、ＯＰ２を一辺とする
平行四辺形ＯＰ２Ｐ１Ｒを描き、Ｐ２Ｐ１の対辺ＯＲを与える頂点ＲがＺ１−Ｚ２
を表す。 |
 図５ 和差の作図 |
| 次に、Ｚ１とＺ２それぞれを表す点をＰ１、Ｐ２とおき、Ｅ（０，１）とし、上記の等式（１）〜（４）を留意しながら、Ｚ１とＺ２の積と商を作図する。 |
| 積：
∠ＥＯＰ１＝∠Ｐ２ＯＳ、∠ＯＥＰ１＝∠ＯＰ２Ｓとなるように点Ｓを取ると、
三角形ＯＥＰ１と三角形ＯＰ２Ｓは相似となる（図６）。
そこで、
∠ＥＯＳ＝∠Ｐ２ＯＳ＋∠ＥＯＰ２＝∠ＥＯＰ１＋∠ＥＯＰ２＝argＺ１＋argＺ２
＝arg（Ｚ１・Ｚ２）
ＯＰ１：ＯＳ＝ＯＥ：ＯＰ２ ∴ ＯＳ・ＯＥ＝ＯＰ１・ＯＰ２
ＯＥ＝１より、
ＯＳ＝ＯＰ１・ＯＰ２＝|Ｚ１||Ｚ２|＝|Ｚ１・Ｚ２|
以上から、点ＳがＺ１・Ｚ２を表す。 |
図６ 積の作図 |
| 商：
Ｚ２≠０とする。
（Ｚ１／Ｚ２）・Ｚ２＝Ｚ１であるから、、積の作図より、
三角形ＯＰ１Ｔと三角形ＯＰ２Ｅが相似となるように点Ｔを取ればよい（図７）。
∠Ｔ０Ｐ１＝∠ＥＯＰ２で、
∠ＥＯＴ＝∠ＥＯＰ１−∠Ｔ０Ｐ１＝∠ＥＯＰ１−∠ＥＯＰ２＝argＺ１−argＺ２
＝arg（Ｚ１／Ｚ２）
ＯＰ１：ＯＴ＝ＯＰ２：ＯＥ ∴ ＯＰ１・ＯＥ＝ＯＴ・ＯＰ２
ＯＥ＝１で、ＯＰ２≠０より、
ＯＴ＝ＯＰ１／ＯＰ２＝|Ｚ１|／|Ｚ２|＝|Ｚ１／Ｚ２|
以上から、点ＴがＺ１／Ｚ２を表す。 |
 図７ 商の作図 |
| 上記のように、複素数の四則演算による結果は複素平面に作図できる。複素平面というものが簡単にではあるが、どのようなものかおおよその所はご理解頂けたのではないかと思う。次節では、代数学における複数平面の利用法を見てみたいと思う。 |