複素平面と極形式（１） 
■実数直線と実平面
前節「数の分類」において代数的な数の構成法を簡単に見てきた。数を幾何学的に捉え、図示する方法を導入すれば、より視角的な議論が展開できる。
自然数、整数、有理数、実数などを直線で図示する方法はよく知られている。実数直線（real line）と呼ばれる図１のようなものである（０を基準点として原点Ｏで表す）。
実数直線
図１　実数直線
２つの実数直線を組み合わせ、原点Ｏで直交する直交座標系で、実数の組（Ｘ，Ｙ） 
を表す方法もよく知られている。実平面（realplane）と呼ばれる図２のようなもの 
である。
実平面
図２　実平面
 横軸をＸ軸、縦軸をＹ軸とするＸＹ平面で組（Ｘ，Ｙ）を点と捉え、解析幾何学を創始したデカルト（Descartes 1596-1650）の名前から、このような座標の取り方をデカルト座標とも呼ぶ。注１ 

このような実平面を使えば、２元１次方程式ａＸ＋ｂＹ＋ｃ＝０（ａ≠０またはｂ≠０）を直線、２元２次方程式ａＸ２＋ｂＸＹ＋ｃＹ２＋ｄＸ＋ｅＹ＋ｆ＝０（ｆ以外の係数は同時に０でない）を二次曲線（楕円、放物線、双曲線）として捉えるなど、方程式に幾何学的な意味を与えることができる。注２
注１
一般に集合Ａ、Ｂに対し、｛（ａ，ｂ）|ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝なる集合をＡ×Ｂで表し、ＡとＢの直積（direct product　あるいは　Cartesianproduct）と呼ぶ。特に、Ａ×Ａは単にＡ２と表す。同様に、２つ以上の有限個集合の直積も定義される。 
実平面とは直交座標系を導入された、集合Ｒ２＝｛（Ｘ，Ｙ）｜Ｘ，Ｙ∈Ｒ｝である。
注２
ａＸ＋ｂＹ＋ｃ＝０は平面における直線の一般形である。Ｙ＝ｍＸ＋ｎ（傾きｍ、Ｙ切片ｎ）というよく知られている形の直線の方程式ではＸ＝ｋというＹ軸に平行な直線は表現できないことに注意する。
ａＸ２＋ｂＸＹ＋ｃＹ２＋ｄＸ＋ｅＹ＋ｆ＝０が表す図形が二次曲線だけではないことも注意しておく。この右辺の二次式は（ｐ１Ｘ＋ｑ１Ｙ＋ｒ１）（ｐ２Ｘ＋ｑ２Ｙ＋ｒ２）  
という一次式の積に分解できる場合がある（ただし、係数は全て実数とする）。このように多項式が多項式の積に分解できる場合を可約であるといい、できない場合を既約であるという。
可約の場合、ｐ１Ｘ＋ｑ１Ｙ＋ｒ１＝０とｐ２Ｘ＋ｑ２Ｙ＋ｒ２＝０は直線であり、交わったあるいは平行な二直線か、二重に重なった直線（見かけ上一直線である）を表す。既約の場合は二次曲線であり、係数の値によって楕円（もちろん円を含む）、放物線、双曲線のいずれかを表す。
■複素平面
Ｚ＝ａ＋ｂｉなる複素数はＸＹ平面上の点Ｐ（ａ，b）と一対一に対応している。これから図３のように複素数を平面上の点として表す。
複数平面
図３　複数平面
 Ｘ軸を実軸、Ｙ軸を虚軸と呼び、このような平面を複数平面（complexplane）と呼ぶ。ガウス�iGauss 1777-1855）が複数平面を導入したことから、これをガウス平面と呼ぶこともある。 

複素数Ｚ＝ａ＋ｂｉの絶対値（absolute value）を線分ＯＰの長さと定め、|Ｚ|で表す。 

三平方の定理より、
■共役複素数
Ｚ＝ａ＋ｂｉに対し、ａ－ｂｉをＺの共役複素数（conjugatecoｍplex number）と呼び、で表す。明らかに、＝Ｚであり、|Ｚ|＝||などが分かる。また、Ｚと 
は複素平面において、Ｘ軸に関して対称な位置にある。
 
（1999.4.10　高林廉）
 
 
 
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